Nonstandard analysis - Wikipedia
Gottfried Wilhelm Leibniz argued that idealized numbers containing infinitesimals be introduced. The history of calculus is fraught with philosophical debates about the meaning and logical validity of fluxions or infinitesimal numbers. The standard way to resolve these debates is to define the operations of calculus using epsilon–delta procedures rather than infinitesimals. Nonstandard analysis[1]
超準解析４
～直積と選択関数～ まず、一般的に知られている直積の概念を、集合論的な使用に耐えうるまで拡張したいと思う。といっても、そんなに難しいものではない。まず、以下のようなシチュエーションを考えてほしい。 底集合Ｎ(自然数の集合)の各点に、それぞれ一つの集合Ｘが対応している。図ではとくに言及していないが、Ｘはどれも同一の集合で なくてもよく、Xnと書いて区別しても良い。 また、もちろんＮは自然数の集合でなくてよく、任意の集合でよい。自然数としておくとイメージしやすいのでこうしたまでである。このとき、i∈Ｎをその上のＸiの元に対応させる写像を、選択関数という。 選択関数は、N上のX値関数である。上の図では２にaが対応しているが、 のように任意のiについて対応させることを考える。このような選択関数の全体を、直積という。 紅い糸は、一つの元を表している。 例えば簡単な例、Ｎが１と２しかなく、それに実数
高校生の僕（実数の拡張）
僕（ @evinlatie ）が高校生の時に考えた実数の拡張のアイデアをまとめました。 超準解析の理解の一助となれば幸いです。
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http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/48860/1/TRonso33_Ikeda.pdf
Applications of non-standard analysis to relativistic quantum mechanics. I - IOPscience
Transfer principle - Wikipedia)
Differential (mathematics) - Wikipedia
Nonstandard calculus - Wikipedia
超準解析を代数的に。
http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html