レーヴェンハイム–スコーレムの定理 - Wikipedia
レーヴェンハイム–スコーレムの定理（英: Löwenheim–Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。 背景[編集] シグネチャ（非論理記号の一覧）には、関数記号の集合 Sfunc、関係記号の集合 Srel、関数記号と関係記号のアリティを表す関数 から成る（0項の関数記号は、定項記号と呼ばれる）。一階述語論理では、シグネチャを言語 (language) とも呼ぶ。シグネチャに含まれる関数記号と関係記号の集合が可算であるとき、そのシグネチャは可算であると言い、一般にシグネチャの濃度とは、そこに含まれ
ヴォート予想とは何か：寄り道だらけの偏った解説
▼ ヴォート予想 仕事で疲れたとき．心が荒んでいるとき．そんなときには，可算構造の数を数えてみてはいかがでしょうか． 標数 $p$ の可算な代数閉体は，超越次数ごとにあるので，同型を除けば，可算無限個． $\mathbb{Q}$ 上の可算ベクトル空間は，次元ごとにあるので，同型を除けば，可算無限個． 終点を持たない稠密全順序で可算なものは，同型を除いて $\mathbb{Q}$ ただひとつしかない． 可算ランダムグラフは，同型を除いて，ラドー・グラフひとつしかない． 可算な実閉体の数は，ええと，同型を除いて連続体濃度個． どうですか．心は安らいできましたか． というわけで，本日は，次のような形の文章を考えてみましょう： 「可算ナントカは，同型を除いて，ちょうど $X$ 個存在する」 上の例では，$X$ の部分は「ひとつ」か「可算」か「連続体濃度」でした．そうすると，ナントカの部分が 《普通
ユニフィケーション - Wikipedia
ユニフィケーション（英: unification）は数理論理学や計算機科学の用語であり、充足性（英語版）問題を解く際のアルゴリズム的プロセスである。ユニフィケーションは、見た目の異なる2つの項（英語版）が同一[1]または同等[2]であることを示す置換（英語版）を求めるのが目的である。ユニフィケーションは自動推論、論理プログラミング、プログラミング言語の型システムの実装などに幅広く用いられている。 なお、ユニフィケーションを単一化あるいは統一化とも呼ぶ。 主なユニフィケーションは数種類ある。等号を持たない論理（理論）において、2つの項が同一であることを示すためのユニフィケーションは統語論的ユニフィケーション[3]と呼ばれる。空でない等号を持つ論理（理論）で2つの項の同等性[4]を示す場合、それを意味論的ユニフィケーション[5]と呼ぶ。置換は順序集合として順序付けられるので、ユニフィケーション
エルブランの定理 - Wikipedia
エルブランの定理（英: Herbrand's theorem）は1930年にジャック・エルブランが発表した数理論理学上の基本定理である [1]。 エルブランの定理は様々な表現方法があるが、単純には以下のように表現できる。 を節の有限集合とするとき、以下の2つは同値である。 が充足不能 から得られる基礎例（エルブラン基底）の有限集合で充足不能なものが存在 エルブランの定理は一階述語論理における任意の恒真な論理式の証明が有限回の機械的な操作で終わることを保証し、ほとんどの自動定理証明の理論的な基盤になっている。チューリングマシンの停止性問題と同様、一般的な述語論理式が証明可能かどうかを求めるアルゴリズムは存在しないが、エルブランの定理では一階述語論理を命題論理と結び付けることで、一階述語論理での証明可能性についての部分的な回答を与えている。 なお、エルブランの本来の証明は任意の一階述語論理式を
ゲーデルの完全性定理 - Wikipedia
出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2017年8月） 数理論理学においてゲーデルの完全性定理（ゲーデルのかんぜんせいていり、英: Gödel's completeness theorem、独: Gödelscher Vollständigkeitssatz）とは、一階述語論理の恒真な論理式はその公理系からすべて導出可能であることを示した定理を言う[1]。1929年にクルト・ゲーデルが証明した。 概要[編集] 1928年に、D. ヒルベルトとW. アッケルマンの共著書であり、一階述語論理（狭義の述語論理）を独立した論理体系として形式化した最初の本である『記号論理学の基礎』[2]の初版が出版されたが、この初版本において一階述語論理の完全性は一つの未解決問題であった[3]。この本を読み、この問題の解決
書評（数理論理学）
教科書など 準備 数理論理学を習得するためには、その前に、数学の言葉を操り数学の考え方を駆使できるようになる必要があります。数理論理学は数学の一分野ですので、それについては数学の他の分野と変わることはありません。 幸い、数学の言葉と数学の考え方を学ぶことに特化して使える教科書が出版されています。目についたものを並べてみます。おそらく、他にもあるでしょう。 個人的に特に気にいっているもの 嘉田勝：論理と集合から始める数学の基礎，日本評論社, 2008. (版元による紹介) 鈴木登志雄：例題で学ぶ集合と論理, 森北出版, 2016. (版元による紹介) その他 渡辺治・北野晃朗・木村泰紀・谷口雅治：数学の言葉と論理, 朝倉書店, 2008. (版元による紹介) 中島匠一：集合・写像・論理—数学の基本を学ぶ—, 共立出版, 2012. (版元による紹介) 石川剛郎：論理・集合・数学語, 共立出版
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