環・体
概要 「群とは」では算法を1つ持つ代数系の分類について説明しました。 ここでは、加法と乗法の2つを持つ代数系の分類について説明します。 このような代数系の分類として、環・体などがあります。 環・体とは ある代数系 ( A,{＋, ×} ) に対して、以下の条件を考えます。 （＋ を加法、× を乗法と呼びます。） 加法に関して「アーベル群」をなす。 加法と乗法の間に「分配法則」が成り立つ。 乗法に関して「半群」をなす。 加法に関する「単位元」（零元）を除いて、乗法に関して「群」をなす。 代数系Aが 1. 2. 3. を満たすとき、環(ring)とよび、 1. 2. 4. を満たすとき、体(field)と呼びます。 また、これらは、乗法に関して可換であるとき、可換環・可換体と呼びます。 （ただし、可換なもののみを体と呼び、非可換なものは斜体と呼ぶ流儀もあります。） 慣例的に、環は R で、体は
群(群、環、体)
概要 まずは、算法を1つ持つ代数系の分類について説明します。 このような代数系の分類として、群・半群などがあります。 群とは ある代数系(G,・)に対して、以下の条件を考えます。 「結合法則」が成り立つ。 「単位元」が存在する。 「逆元」が存在する。 代数系Gが 1. を満たすとき、半群(semi-group)とよび、 1. 2. を満たすとき、モノイド(monoid)と呼びます。 また、1.～3. の全てを満たすとき、Gを群(group)と呼びます。 さらに、群(半群、モノイド)の中で、 「交換法則」を満たすものを可換群(可換半群、可換モノイド)と呼びます。 可換群はアーベル群(abelian group)もしくは加法群(additive group)とも呼ばれ、 その算法は、しばしば ＋ を用いて表します。 （逆に言うと、＋ を用いて表される算法は暗黙的に可換算法であると考えることが多
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