“ラグランジアン”と“エントロピー”、この２つを受け入れれば、古典物理学は理解できる。 さらに“光速度”と“プランク定数”、この２つを受け入れれば、現代物理学は理解できる。 === 古典力学 === 【相対性原理】 あらゆる慣性系（観測者の立場）は同等であり、特別な慣性系は存在しない。 【最小作用の原理】（停留作用の原理） 物体の運動にともなって変化する“ラグランジアン”と呼ばれる量がある。 あらゆる物体の運動は、ラグランジアンの合計値（時間についての積分）を最小とする形で実現する。 ラグランジアンの合計値のことを“作用”という。 外力の影響を受けない物体の運動に、何らかの最小作用を満たすような値があるとすれば、 その値は相対性原理から、速度の２乗の関数でなければならない。 その速度の２乗の関数を、我々は“運動エネルギー”と呼んでいる。 さらに、物体がその位置から受ける影響（外力の影響）を

ラグランジュ方程式とは、解析力学を初めとする物理学の基礎を成す方程式です。 ∂L( q(t), q'(t), t )/∂q(t) - d/dt{∂L( q(t), q'(t), t ) /∂q'(t) } = 0 -- wikipedia:オイラー＝ラグランジュ方程式 ちょうど関数の最小値を求めたいとき「微分＝０」を調べるのと同じように、 汎関数（関数の関数）の最小値を求めたいとき、このラグランジュ方程式を調べます。 ただ、「微分＝０」には“谷底の傾きは平らになる”という明確なイメージが描けるのに比べて、 ラグランジュ方程式のイメージを思い描くのはかなり難しい。 数学が相当得意な人であっても、記号の字面を追うのが精一杯、というのが実情でしょう。 ラグランジュの『解析力学』という本には、イメージを助ける図が一切ありません。 「緒言」でラグランジュ自身が述べているように，この本には「図がまった

Ｑ．なぜ分散は、単純な差（偏差の絶対値）ではなく、差の２乗を計算するのか？ Ａ．分散を最も小さくする点が平均値だから。（単純な差を最も小さくする点は中央値となる。） “分散”というキーワードは統計学の基礎中の基礎であり、どんな教科書にも“平均”の次くらいに載っていることがらです。 しかしながら、いきなり登場する“分散”の意味が分からず、統計学の入り口で挫折する人は少なくありません。 偏差の２乗の平均、つまり、各値と平均との差の２乗の平均を分散といい、 分散の平方根の正の方を標準偏差という。 統計で、ちらばりを表すものとして、標準偏差や分散が多く用いられる。 -- 高校の教科書（啓林館）より. 教科書にはこのように書かれているのですが、これで分かった気になるでしょうか。 ・なぜ、差の２乗を計算するのか？ ・差そのものであってはいけないのか？ ・なぜ、分散と標準偏差の２種類があるのか？ 最後の

「日本お笑い数学協会」というTwitterに流れていた問題 >> https://twitter.com/owaraisugaku?lang=ja 気になったのでメモを書き残して仕事に出かけて、帰ってきたら家族がものすごく計算してた！ >> https://ameblo.jp/rikunora/entry-12420444729.html で、私と言えばオヤジのメンツを保つため、こっそりパソコンの力で解いたのはここだけの秘密です。 ※ 以前紹介した Coprisで解けます（下を参照）>> [id:rikunora:20181025] ※（答えるときはリプライは避け、引用RTなどでお願いします！）とあったので、答は載せません。 同じTwitterに、こんな問題もありました。 やはりパソコンの力を借りて答を列挙したところ、 合計 17 となる答が 2 通り、 合計 19 となる答が 4 通り、

『さらっと言うと、要は、選択公理を認めると f(mn)=f(m)+f(n) を満たす不連続関数が作れてしまう。』 以下にあった、気になる数学ネタ。 * PRMLガール 〜 文芸部のマネージャーが「パターン認識と機械学習」を読んだら >> http://d.hatena.ne.jp/n_shuyo/20130117/prml このブログ記事には書籍版があって、「あとがきがわりのＡＣガール」にもう少し詳しい解説があります。 PRMLガール―文芸部のマネージャーが「パターン認識と機械学習」を 作者: 中谷秀洋出版社/メーカー: 暗黒通信団発売日: 2013/09メディア: 単行本この商品を含むブログ (4件) を見る 当初は「何のこっちゃ？」と思っていたのですが、最近ようやく意味が分かってきたので、以下につらつらと書いてみます。 （PRMLガールでは対数について書かれていましたが、ここでは指数に

ｘ２乗と聞いて、こんな放物線を思い浮かべたり、 微分と聞いて、こんなイメージが浮かぶ人は、かなり数学を勉強したのだろうと思う。 でも、ここではいったん放物線のことは忘れて、 ｘ２乗とは、以下のように一辺ｘの正方形を順番に並べたものだと考えてみよう。 ここで、とある正方形と、すぐ隣の正方形との差分は、こんな風になる。 うんと近くの隣同士だったなら、コーナーにある小さな h^2 の正方形は無視できて、 実質的な差分は、上辺と右辺に張り付いている細長い「２つの、長さｘの長方形」になる。 差分は ２ｘｈ なのだが、これを「すぐ隣までの間隔ｈ」で割ると、２ｘだけが残る。 だから、 『ｘ^2 の、すぐ隣同士の差分は 2ｘ』 これが x２乗の微分 (x^2)' = 2 x の意味だ。 同じように、ｘ３乗という関数を、こんな風に一辺ｘの立方体を順番に並べたものだと考えてみよう。 この立方体の列で、すぐ隣の

Sin( Sin( Sin( ･･･ Sin(x))))... のように、Sinをどこまでも繰り返したら、どうなるか？ Cos( Cos( Cos( ･･･ Cos(x))))... のように、Cosをどこまでも繰り返したら、どうなるか？ Sin((π/2) Sin((π/2) Sin((π/2) ･･･ Sin((π/2) x )))... のように、Sin((π/2) * ) だったらどうなるか？ Cos((π/2) Cos((π/2) Cos((π/2) ･･･ Cos((π/2) x )))... のように、Cos((π/2) * ) だったらどうなるか？ 答を見る前に、ちょっと考えてみましょう・・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ Sin( Sin( Sin( ･･･ のグラフ、だんだん低くなっているように見えます。 Cos( Cos( Cos( ･･･ のグラフ、一定の

■ 予備知識 特殊相対性理論とは、 『光の速さは、どのように等速運動している人（慣性系）から見ても同じになる』 という実験事実に基づく理論です。 止まっている人から見ても、光を追いかけるように走っている人から見ても、光の速さが同じに見える・・・ ということは、止まっている人と走っている人では、光の速さを測るモノサシが違っている。 空間の長さと、時間の進み具合が違うのだ、というのが特殊相対論の考え方です。 詳しくは以下を参照、 * ローレンツ変換の導出 >>> d:id:rikunora:20111107 ■ 時空の境界 見る人の立場によって時空のモノサシが変わる。 ということは、もし立場の違う２人が接したなら、２つの異なる時空の間に境界が生じるはずです。 例えば、立場Ａの人が空中にいて、立場Ｂの人が地上にいたとしたら、 空中と地上の間のどこかでモノサシが変わる境界線(面)が生じることでしょ

エネルギーは相対運動に対して不変では無い？ ある人から眺めた物体の運動と、その人に対して一定の速度で動いている人（慣性系）から眺めた運動は、 同じものを別の側面から見ているだけなので、中身は同じになるはずです。 たとえば一定の速度で走っている船の甲板で行っている運動から、 一斉に船の速度を差し引いたとしても、つじつまが合うはずです。 これを物理の言葉で「運動はガリレイ変換に対して不変である」と言います。 私たちが普段、すごい勢いで地球が回っていることを気にしないのは、 このガリレイ変換不変が成り立つおかげです。 * 東京における大地の移動速度： 3.14 * 2 * 地球の半径6378km * 東京の緯度cos(35度) / 24時間 = 1368.5km/h ところで、走っている船が有する運動エネルギーは、 船を外から眺めている人と、船に乗っている人で、明らかに異なっています。 外から眺

１本の軸を中心として自由に回転できる板を流れの中に置いたら、板はどの向きで落ち着くのか？ 直感的には、最も抵抗が少なくなるように、流れと平行な向きで落ち着きそうに思えます。 これは簡単に実験できることなので、試してみました。 手近にあった、クリアーファイル、ボール紙、糸、セロテープで、回転する板を作ります。 それを送風機の前にかざすと・・・ 直感に反して、板は流れに対して垂直な向きで安定します。 クリアーファイルはペカペカ曲がってしまうので、ボール紙を入れて、できるだけ固くしました。 それでも「板が反ることによって安定するのではないか」という疑問は残ります。 ただ、少なくとも板が平行な向きで安定することはありませんでした。 たとえ反りの効果があったにせよ、抵抗が最も大きくなる向きで安定する、という結果は着目に値します。 この結果ついては、私の記載を疑うよりも、自身の手で試してみるのが一番の

ウィキペディアの「電磁気学」には、次の記載があります。wikipedia:電磁気学 ・・・このローレンツ力とマクスウェル方程式は電磁気学における最も基礎的な法則である。 ちょっと細かい話なのですが、なぜ単に「マクスウェル方程式は」ではなくて、 わざわざ「ローレンツ力とマクスウェル方程式は」となっているのでしょうか。 実は、ローレンツ力（又はフレミングの左手の法則）は、マクスウェル方程式とは別の、独立した法則なのです。 マクスウェル方程式から（直接的に）ローレンツ力を導くことはできません。 別の資料にも、こんな記載がありました。 ここでも基本法則は「マックスウェル方程式＋ローレンツ力」となっています。 電磁気学の基本法則は，マックスウェル方程式と呼ばれる，4つの式で表されます． マックスウェル方程式を本当に理解するには，ベクトル解析という大学レベルの数学が必要になります． しかし，その意味を

量子力学と言えば、日常とは縁遠い、特別なミクロの世界というイメージがあります。 ところが、やり方さえ工夫すれば、量子の世界を家庭でもわりと手軽に試すことができるのです。 今回やってみたのは「量子消しゴム実験」。 元ネタは日経サイエンス 2007年8月号に載っていたものです。 >> http://www.nikkei-science.com/page/magazine/0708/200708_080.html （このページから記事をダウンロード購入できます） 詳しい解説は元記事に譲るとして、以下に実際にやってみた結果を載せます。 ■ 用意するもの １．レーザーポインタ 手頃なものであれば、２〜３千円位で購入できます。私はこのレーザーポインタを使いました。 SANWA SUPPLY レーザーポインター LP-ST300S 出版社/メーカー: サンワサプライ発売日: 2009/03/30メディア

そもそも問題がよくわからん、と聞かれたので。 ある自然数を素因数分解して出てきた、全ての約数を並べてみることを考えます。 例: 45 = 3 * 3 * 5 = 3^2 * 5 なので、45 の約数は { 3 と 5 } です。 例: 504 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7 = 2^3 * 3^2 * 7 なので、504 の約数は { 2 と 3 と 7 } です。 ※ 約数を並べるときに、重複する約数は１つだけ残す、ということにしています。 ※ 例えば 45 = 3 * 3 * 5 なのですが、3 は重複して２回出てきているので、 ※ ２個のうちの１個だけを結果に残しています。 ※ 「全部の種類の約数」を並べるのだ、と考えれば良いでしょう。 このようにして並べた約数を、全て掛け合わせるという計算を、rad(n) と表記することにしましょう。 例: rad(45) = 3

のこぎりの歯のように、非対称でギザギザな地形の上に、小さなボールを置いたとします。 この地形全体をユサユサ揺さぶったら、ボールはどちら側に動くでしょうか？ 直観的には、ボールはのこぎりの歯に引っかかるので、左側に動くような気がするのですが・・・ そこで、ボールの動きをシミュレーションによって確かめてみました。 * 確率的ラチェット（要：Silverlight 4） >> http://brownian.motion.ne.jp/memo/Ratchet01/ シミュレーション画面の、一番上にある２つのスライドバーによって、ラチェットの高さと傾きを調整します。 左上の RndForce にチェックを入れると、ランダムな揺さぶる力が加わります。 （RndForce の右隣のスライドバーは、ランダムな力の大きさ調整） 【１】まず、ラチェットの形を左右対称にしたまま（スライドバー=.050）揺さぶ

「つみネコ」という iPhoneの人気ゲームがあります >> http://www.tsumineko.com/ その名の通り、ネコを積み上げていくという、不条理でゆるかわいいゲームです。 この「つみネコ」には、バーチャルなゲームだけでなく、リアルなフィギュアもあります。 ※「つみネコマニア」というフィギュア フィギュアも積み上げることができるのですが、高く積むのはけっこう難しい。 バーチャルなゲームのつみネコは、高さ数十メートルにまで積み上げることができるのですが、リアルなフィギュアではとても無理。 もう１つ、バーチャルなゲームでは明らかに下のネコの位置をはみ出して、 大きく曲がった形でネコを積み上げることができます。 それではリアルなつみネコでも、下のネコの位置からはみ出した「曲げ積み」ができるのでしょうか？ そんなこと、物理的に不可能だという気もするのですが・・・ まずは簡単な十円玉

我が家の居間を照らしている蛍光灯は、丸いプラスチックのカバーですっぽり被われた形をしています。 プラスチックのカバーと天井の間には隙間があって、夏になると、小さな虫が照明の中に入ってきます。 ときどき掃除をしてみると、いつでも必ず何匹かの虫が入っていて、滅多に０になることがありません。 ならば、ひと夏の間に、いったい何匹くらいの虫が入ってくるのだろう？ 好奇心に駆られて、この夏は２ヶ月間、掃除をせずに虫を集めてみました。 * 集めた期間：2011年６月２０日〜８月２０日 大漁、大漁〜！ さっそく取り出して、大きさの順に並べてみました。 大物は一番下の列、左下の一番でっかいカナブンが目立ちます。 ２番目がアブ、３番目は蛾、４番目は羽アリ、あとは、その他大勢。 中央付近は一応肉眼でわかるもの。残る両端の粉みたいなやつは、何だかよくわからない。 ウンカ、小バエ、蚊、ガガンボ、カゲロウ、小さな蛾・

平面上に、碁盤の目のように縦横に等間隔に、どこまでも点が並んでいたとします。 （こういう点を「格子点」と言います） その中のある１点からスタートして、他の点には全く触らないようにして直線を引くことができるでしょうか。 もし点にほんの少しでも大きさがあったり、線に幅があったりすれば、 直線をどのように引いても必ずどこかで点と接触します。 しかし、あくまでも理屈の上で、点の大きさも、線の幅も０だとしたならば、 どの点にも全く触らない直線が引けるのです。 なぜか。 点と直線がぶつかったとき、そのぶつかった点の位置を、 横いくつ、縦いくつ、という数え方で記録したとしましょう。 例えば横に１０個、縦に３個進んだときにぶつかった点の位置は（１０, ３）です。 このとき、ぶつかった点の位置の縦横比は、3/10 という分数＝有理数となります。 どんな点であっても、ぶつかった点の位置は必ず有理数（の整数倍）

まずはマンガで表現してみましょう。 * Before * After これが、電子出版に期待されている姿なのではないかと。。。 ・・・べっ、べつに特定の誰かさんを描いたわけじゃないんだからね！ えーと、マンガの中には意味不明の「萌え学博士」が登場しますが、別に萌えていなくても構わないと思います。 今の日本には、ノラ博士と呼ばれている人たちが何万人もいます。 居場所にもよるのですが、今や博士は最もニートに近い存在です。 あるいは、博士号に手が届かずに挫折した人。 あるいは、せっかく大学院まで勉強したのに、結局社会的には何の役にも立たなくてガッカリした人。 この行き場のない閉塞感を、どのように打開したら良いのでしょうか。 １つ、提案します。 電子出版が、閉塞感を打開する手段になる、ということです。 iPadブームも手伝って、最近は私の身の回りでも電子出版の話題にこと欠きません。 しかし落ち着い

経済とは何か、その疑問に真っ向から応えるスペシャルコンテンツのダウンロード販売を開始します。 タイトルは「現代経済学の直観的方法」、ＰＤＦの電子書籍です。 >> 長沼伸一郎著作集 -- 現代経済学の直観的方法 コンテンツの作者は、長沼伸一郎という方です。 「物理数学の直観的方法」という本の著者と言った方が、通りが良いかもしれません。 物理数学の直観的方法 作者:長沼 伸一郎メディア: 単行本 今回ダウンロード販売するのは、いってみれば、その「物理数学」の経済版のようなものです。 なぜこんなところでダウンロード販売するのか、といったいきさつは、販売ページの方に記しておきました。 >> http://book.motion.ne.jp/pathfind/economy.html 経済がわからない。そのようにぼやく人は、決して少なくないと思います。 かく言う私もその１人でした。　* 経済がわから