直交補空間、直交直和、直交射影とは：定義と例、証明 | 趣味の大学数学
どうも、木村（@kimu3_slime）です。 今回は、直交補空間、直交直和、直交射影とは何か、定義と例、証明について紹介します。 前提知識：部分空間の直和とは：定義と例、射影 線形空間として、\(V = \mathbb{R^2}\)という平面を考えましょう。 これに対して、\(W_1 =\{x \mid x_2 =0\}\)、\(W_2 = \{x \mid x_1 =0\}\)と置くと、これらは1次元の部分空間（直線）です。 部分空間に対しては、その和空間を考えることができました。この例では、\(W_1 +W_2 = \mathbb{R}^2\)となります。さらに、\(x= (x_1,x_2)= (x_1,0)+(0 ,x_2)\)と分解できるので、この和は直和\(\mathbb{R}^2 = W_1 \dot{+} W_2\)です。 中学校の座標平面で学ぶ、いわゆる\(x,y\)軸が
QR分解とは：シュミットの直交化法による求め方 | 趣味の大学数学
QR分解（QR decomposition）とは、行列\(A\)を\(A=QR\)、\(Q\)は直交行列、\(R\)は上三角行列という積の形に分解することです。 行列\(A\)を構成する列ベクトル\(a_1,\dots,a_n\)がすべて線形独立ならば、シュミットの直交化法によって必ずQR分解をすることができます。 まずは簡単な例で具体的にやってみましょう。 \[ \begin{aligned}A= \begin{pmatrix} 0 &1\\1&1 \end{pmatrix}\end{aligned} \] の列ベクトルから、シュミットの直交化法によって正規直交基底\(q_1,q_2\)を作ります。\(q_1=(0,1),q_2=(1,0)\)となります。 そこで、 \[ \begin{aligned} Q&= \begin{pmatrix} q_1 &q_2 \end{pmatr
置換行列とは？置換との関係、性質、転置・直交行列 | 趣味の大学数学
どうも、木村（@kimu3_slime）です。 置換行列は、ベクトルを入れ替える行列で、可逆行列のシンプルな例として頻繁に登場します。いくつかのものを入れ替える操作＝置換は、数学全般で登場するアイデアで、慣れ親しんでおきたいものです。 今回は、置換行列とその性質、置換との関係、転置行列と直交行列について紹介したいと思います。 線形代数学では、置換行列というものを扱います。 例えば、\( \begin{pmatrix} 0& 1\\1 & 0 \end{pmatrix}\)は置換行列です。なぜ置換と呼ばれるかというと、他のベクトル・行列との積を取ると、その中身を入れ替えるからです。 \( \begin{pmatrix} 0& 1\\1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_2\\x_
Julia（SymPy）で行列式、逆行列を求める方法 | 趣味の大学数学
\[ \begin{aligned}\left[ \begin{array}{rr}1&2\\3&4\end{array}\right]\end{aligned} \] \[ \begin{aligned}-2\end{aligned} \] \[ \begin{aligned}\left[ \begin{array}{rr}-2&1\\\frac{3}{2}&- \frac{1}{2}\end{array}\right]\end{aligned} \] \[ \begin{aligned}\left[ \begin{array}{rr}-2&1\\\frac{3}{2}&- \frac{1}{2}\end{array}\right]\end{aligned} \] 行列式の余因子展開に伴って現れる、行列の余因子行列\(\mathrm{adj\,}(B)\)を求めることもできます。
Julia（Plotly）でグリグリ動かせる3Dグラフを作る方法 | 趣味の大学数学
これによって、PlotsとPlotlyJSが動くようになります。 僕の環境だと「The WebIO Jupyter extension was not detected. See the WebIO Jupyter integration documentation for more information. 」というメッセージが出ますが、以降の実行には影響がありませんでした。 2変数関数の3Dグラフ例として、いくつかの2変数関数の3Dグラフを描いてみましょう。 \[ \begin{aligned}f(x,y)=x^2+y^2\end{aligned} \]
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Julia（SymPy）でラプラス変換、逆変換を求める方法 | 趣味の大学数学