ラマヌジャンは本当に何も知らなかったのか
$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{F}[4]{{}_2F_1\left(\begin{matrix}#1,#2\\#3\end{matrix};#4\right)} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]
すべての正の有理数を産み出す式のレシピ(日曜数学会)
はじめに この記事は 第２５回日曜数学会(2022.10.15) で発表した内容に加筆したものです。 Twitter で話題になった、すべての有理数を産み出す式について、いろいろ遊んでいたところ、作り方のレシピがわかったのですが、そのレシピがとても面白かったので記事にしました。 (話題になった @TamasGorbe さんのツイート) Consider the function f(x) = 1 / ( ⌊x⌋ + 1 − {x} ) and the sequence of numbers 0, f(0), −f(0), f(f(0)), −f(f(0)), f(f(f(0))), −f(f(f(0))), ... Congratulations, you've just listed every rational number exactly once! pic.twitter.com/
相似比2:1の正多角形内接の定理
はじめに この記事では、先月私が偶然発見した正多角形に関する超面白い性質を紹介したいと思います。 ちょっと長いので、お急ぎの方は証明の部分は飛ばして、超面白い性質の部分だけでもご覧いただければと思います。 正 $7$ 角形の場合 まずは、最初に正 $7$ 角形の場合について。 下の図をご覧ください。 正７角形の場合 見つけた性質は次のようなものです。 一辺の長さ $1$ の正 $7$ 角形(赤色) $4$ つと、一辺の長さ $2$ の正 $7$ 角形 $2$ つ(青色)は、一辺の長さ $2$ の正 $14$ 角形(灰色)とその最長の対角線に、図のようにピッタリ接するように配置することができる。 拡大してもピッタリ接している 図中の $4$ とか $1$ の数字は面積比を表しています。 また、各正$7$角形の向きは全部同じです。 この性質を見つけたときは本当にビックリしました。作図ソフトge
Juliaで有限環の単元群を具体的に求めてみた。
Introduction龍孫江さんの動画で紹介されている命題に関する内容を、実際にプログラミングして、具体的に求めてみようという記事です。 参照動画（必見です！） 環論：有限環の単元群４ 動画内の命題$p$を奇素数とする。 $$ R = \mathbb{F}_p[T]/(T^2+1) $$ とし、$R$の単元群を$R^{\times}$とする。 このとき、以下が成り立つ。 $R^{\times}$の位数は $p \equiv 1 \pmod4$のとき$(p-1)^2$ $p \equiv 3 \pmod4$のとき$p^2-1$ 今回の目標具体的な奇素数$p$に対して $R^{\times}$の元を全て求める $R \setminus R^{\times}$の元を全て求める$p \equiv 1 \pmod4$のとき、$\mathbb{F}_p[T]$で$T^2+1$を分解する$p \equ
フィボナッチ数列を拡張したk-ナッチ数列の一般項についての予想
k-ナッチ数列の第$n$項を $a_k(n)$ と表記する。このとき、$a_k(n)$ は次の式で求めることができる。 ${\displaystyle a_k(n)=\left\lfloor \frac{A_k^n}{B_k} \right\rceil }$ ただし、$A_k,B_k$は次の定数である。 $f_k(x)=x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-\cdots-x^2-x-1$ として、 ${\displaystyle A_k\cdots\cdots f_k(x)=0\text{ の正の実数解} }$ ${\displaystyle \begin{align} B_k &=f_k'(A_k) \end{align} }$
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