x2+y2=r2x^2+y^2=r^2x2+y2=r2 を yyy について解くと y=±r2−x2y=\pm\sqrt{r^2-x^2}y=±r2−x2 となることに注意する。 求めるものは,y=r2−x2y=\sqrt{r^2-x^2}y=r2−x2 と x=−rx=-rx=−r ,x=rx=rx=r ,xxx 軸で囲まれた領域を xxx 軸のまわりに回転させてできる図形の体積と考えられるので, V=∫−rrπ{r2−x2}2dx=2π∫0r(r2−x2)dx=2π[r2x−x33]0r=43πr3\begin{aligned} V &= \int_{-r}^r\pi\{\sqrt{r^2-x^2}\}^2dx\\ &= 2\pi \int_{0}^r(r^2-x^2)dx\\ &= 2\pi\left[r^2x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^r\\ &= \