１の三乗根オメガを用いた計算と因数分解 | 高校数学の美しい物語
1の三乗根，つまり3乗して1になる数を考えてみます。 x3=1x^3=1x3=1 を変形すると，x3−1=0x^3-1=0x3−1=0 因数分解すると，(x−1)(x2+x+1)=0(x-1)(x^2+x+1)=0(x−1)(x2+x+1)=0 つまり，x=1x=1x=1 または x2+x+1=0x^2+x+1=0x2+x+1=0 になります。後者の二次方程式を解くと，x=−1±3i2x=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}x=2−1±3i になります。 つまり，1の三乗根は 1,−1+3i2,−1−3i21,\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2},\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}1,2−1+3i,2−1−3i の 333 つです。3つのうち2つは虚数です。複素数平面で1の三乗根を図示すると，正三角形になります。 1の三乗根のうち虚数のものを
高校数学の美しい物語 | 定期試験から数学オリンピックまで800記事
∣x∣<1|x| < 1∣x∣<1 なる実数 xxx について， arcsinx=x+16x3+340x5+⋯arccosx=π2−x−16x3−340x5−⋯\begin{aligned} \arcsin x &= x + \dfrac{1}{6} x^3 + \dfrac{3}{40} x^5 + \cdots\\ \arccos x &= \dfrac{\pi}{2} - x - \dfrac{1}{6} x^3 - \dfrac{3}{40} x^5 - \cdots \end{aligned}arcsinxarccosx=x+61x3+403x5+⋯=2π−x−61x3−403x5−⋯ となる。 この記事では逆三角関数のうち逆正弦関数（arcsin\arcsinarcsin）と逆余弦関数（arccos\arccosarccos）のマクローリン展開を計算します
回転体の体積を求める公式 | 高校数学の美しい物語
x2+y2=r2x^2+y^2=r^2x2+y2=r2 を yyy について解くと y=±r2−x2y=\pm\sqrt{r^2-x^2}y=±r2−x2 となることに注意する。 求めるものは，y=r2−x2y=\sqrt{r^2-x^2}y=r2−x2 と x=−rx=-rx=−r ，x=rx=rx=r ，xxx 軸で囲まれた領域を xxx 軸のまわりに回転させてできる図形の体積と考えられるので， V=∫−rrπ{r2−x2}2dx=2π∫0r(r2−x2)dx=2π[r2x−x33]0r=43πr3\begin{aligned} V &= \int_{-r}^r\pi\{\sqrt{r^2-x^2}\}^2dx\\ &= 2\pi \int_{0}^r(r^2-x^2)dx\\ &= 2\pi\left[r^2x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^r\\ &= \
球の体積と表面積の公式の覚え方・積分での求め方 | 高校数学の美しい物語
半径 rrr の球の表面積は S=4πr2, S=4\pi r^2,\:S=4πr2, 球の体積は V=43πr3V=\dfrac{4}{3}\pi r^3V=34πr3 である。 球の体積と表面積の公式の覚え方を紹介します。そのあと，中学生の方向けに公式を利用して例題を解いてみます。後半では積分を使って公式を証明します。表面積は3通りの方法を解説します。 高校生の方にとっては，積分の感覚をつかむよい練習になります。
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