大山崇のボロノイ図のページ
ボロノイ図(1999年5月7日公開、2010年06月03日22:14:30第40回の改訂) ●注意 上はＪＡＶＡで作られています。メモリを大量に使ったり、重くなるかもしれません。その時は、ごめんなさい。 実行後に画面をスクロールしたり、アプレット全体が画面に入ってないと、間違った画面になるかもしれないので、気をつけてください。画面の大きさを決めてから”もう一度”をクリックするか、更新(reload)してください。 ●ボロノイ図の説明 ボロノイ図(Voronoi diagram)は、平面上にいくつか点が与えられた時、各点に領域を割り当てるための図です。 点sと点tの距離をd(s,t)とします。 今、N個の点p(1),p(2),...p(N)があるとき、p(i)のp(j)に対する優位領域Dom(p(i),p(j))を、d(x,p(i))の方がd(x,p(j))より小さいxの集合とします。そして
L-system - Wikipedia
L-system（エルシステム、Lindenmayer system）は形式文法の一種で、植物の成長プロセスを初めとした様々な自然物の構造を記述・表現できるアルゴリズムである。自然物の他にも、反復関数系（Iterated Function System、 IFS）のようないわゆる自己相似図形やフラクタル図形を生成する場合にも用いられる。L-System は1968年、ハンガリーユトレヒト大学の理論生物学者にして植物学者であったアリステッド・リンデンマイヤー（Aristid Lindenmayer）により提唱され、発展した。 起源[編集] L-system により生成された3次元の樹木モデル。 生物学者としてリンデンマイヤーは、酵母や糸状菌、そして藍藻類の Anabaena catenula のような藻類など、様々な生物の成長パターンを研究していた。もともと L-system は、そのような
[ActionScript 3.0] 線分の交差判定を利用して多角形同士の交差判定を行う│miscellaneous
前回の線分の交差判定を使って多角形同士が交差するか判定する。 (多角形を構成する線分同士の交差を判定しているので、多角形同士が完全に離れている場合と多角形が他の多角形に完全に含まれる場合の区別はつかない。) package { import flash.display.*; import flash.geom.*; import flash.events.Event; [SWF(width="500", height="500", backgroundColor="#ffffff")] public class PentagonCross extends Sprite { public var vertexes:Array; public var checkObjects:Array; private var WIDTH:int = 500; private var HEIGHT:int
PhysBAM
PhysBAM is a multiphysics simulation library, capable of simulating rigid & deformable bodies, compressible & incompressible fluids, coupled solids & fluids, coupled rigid & deformable solids, articulated rigid bodies & humans, fracture, fire, smoke, hair, cloth, muscles, as well as many other natural phenomena. Links Background, History, Disclaimer & Copyright, and Bugs Code Organization How To G
平面の方程式
点P ( x 0 , y 0 , z 0 ) を通り，法線ベクトルが n → =( a,b,c ) の平面の方程式は a( x− x 0 )+b( y− y 0 )+c( z− z 0 )=0 と表わされる．また，平面の方程式は一般に ax+by+cz+d=0 （一般形） と表される．このとき，平面の法線ベクトルは n → =( a,b,c ) となる． ■平面の方程式の導出 平面は，空間中の点と平面に垂直な法線ベクトルが決まれば，一意的に決まる．平面上の点Pの座標を ( x 0 , y 0 , z 0 ) ，法線ベクトルを n → =( a,b,c ) とし，平面上の任意の点Qの座標を ( x,y,z ) とすると，ベクトル PQ ⟶ は平面に含まれる． n → は平面の法線ベクトルなので， n → と PQ ⟶ のなす角は90°である．よって内積がゼロとなるので n → · PQ
面法線と頂点法線_3DCG - FreeStyleWiki
ポリゴン（三角形）は、3つの頂点の並びにより「面から垂直に出るベクトル」が計算できます。これが「面法線」といわれるものです。 これは、３頂点をv0/v1/v2とした場合に VECTOR3 vv1, vv2, n; vv1 = v1 - v0; vv2 = v2 - v1; Vec3Cross(&n, &vv1, &vv2); Vec3Normalize(&n, &n); として求まります。「Vec3Cross」は外積を求める関数、「Vec3Normalize」はベクトルを正規化して長さを1.0にする関数です（よく使うベクトル・行列計算関数を参照）。 この「面法線」は、光の計算をするとき（正反射するときなど）に利用されます。また、面が表を向いているか裏を向いているかの判定でも利用されます。 たとえば、方向ベクトルV(v.x, v.y, v.z)があり、面の法線がN(n.x, n.y, n.z
床井研究室 - ゲームグラフィックス特論
球面線形補間 ４月に入ってなんだか妙に忙しいと思っているうちに，今日はもう３０日！なのに，今月は全然ブログ書いとらん…いかん，何か書かねばと思ってもネタがない．仕方がないからゲームグラフィックス特論（なんちゅう講義名だ）の宿題のヒントを． まず，２つのクォータニオンの補間の実装は，例えばこんな具合になります． #include <math.h> #include <float.h> /* ** 球面線形補間 p ← q と r を t で補間したクォータニオン */ void slerp(double p[], const double q[], const double r[], const double t) { double qr = q[0] * r[0] + q[1] * r[1] + q[2] * r[2] + q[3] * r[3]; double ss = 1.0 - qr
B-reps（境界表現）をC、C++で実装するには？
> OpenGLで境界表現によってソリッドモデルを表現したいのですが、うまくできません。 そりゃそうです．OpenGL が扱う幾何モデルは， バラバラの頂点や多角形の集まりに過ぎません． OpenGL とソリッドモデルはほとんど無関係で， モデルを表示するときに OpenGL を使うというだけのことです． 実際，OpenGL にはソリッドモデルを扱うためのデータ構造も関数もありません． OpenGL が行うことは，ぶっちゃけて言えば，３次元空間内の 多角形を座標変換して２次元平面に描画することだけです． したがって OpenGL にとっては，複数の多角形の間の関係など どうでもよくて，表示すべきすべての多角形を片っ端から 描画していけばいいわけです． 他方，境界表現では，頂点，稜線，面などの位相構造 (隣接関係，順序，向きなど) を管理する必要があります． これらは OpenGL とは全く
幾何学・CG のアルゴリズム集
作成中 スマートフォン (Android，iPhone) など最近のモバイル機器には３軸地磁気センサ (電子コンパス) と３軸加速度センサ (モーションセンサ) を搭載しているものがある．これらを用いると，基準となる３方向 (水平磁北方向，水平東方向，鉛直方向) をそれなりの精度で求めることができ， さらにその結果を用いて端末の姿勢 (向いている方向) や方位角 (azimuth)， 傾き角 (roll，pitch) を計算することができる． 余談だが，Android のマニュアルにある azimuth の定義はおかしい (はっきり言って間違っている) のでセンサアプリ開発者は注意． この定義によると水平面に対する画面の傾きが大きくなるほど azimuth の誤差が大きくなり，画面を垂直にすると全く方位とは無関係な値になる． 実際，ストリートビューに定義どおりの azimuth を渡した場
輪読・計算幾何学 第3章 多角形の三角形分割 徳山研究室 M1 鈴木 晶子 発表の内容 • 美術館問題 • 三角形分割 • 単調な部分多角形への分割 • 単調な多角形の三角形分割 1 美術館問題
輪読・計算幾何学 第3章 多角形の三角形分割 徳山研究室 M1 鈴木 晶子 発表の内容 • 美術館問題 • 三角形分割 • 単調な部分多角形への分割 • 単調な多角形の三角形分割 1 美術館問題 • 美術館に監視カメラを設置 • カメラの台数はできるだけ少なく • 美術館のどの部分も、少なくとも1台のカメラから 見えるように • 与えられた美術館を監視するのに必要なカメラの台 数は? • カメラはどこに配置すべき? 問題のモデル化 • 美術館→平面の多角形領域 • 単純な多角形(single polygon) • 自己交差しない閉じた多角形チェインで囲まれた 領域 • 多角形領域を三角形（監視が簡単な断片）に分割 →監視に必要なカメラ台数の上界を求める 単純な多角形 単純な多角形ではないもの 2 三角形分割 三角形分割 • Pをn頂点の単純な多角形とする。 • 多角
基礎の基礎編その２ 小技集めておきました
ホーム＜ゲームつくろー！＜衝突判定編＜小技集めておきました 基礎の基礎編 その２ 小技集めておきました ここでは、ベクトル演算を中心とした小技を集めてみることにしました。この章は何かあるたびに更新していく予定です。 ・ 3Dで平行なベクトルの外積は？ ・ ある点から平面までの距離 ・ 2Dでのある点から直線までの距離 ・ 斜面に立つには？ ・ ポリゴン上に点が含まれるかを判定 ・ 内分点 ・ 2直線間の最短距離 ○ 3Dで平行なベクトルの外積は？ ↑トップ 2Dの外積は数値ですが、3Dでは法線ベクトルになります。2つのベクトルが並行ではない場合、法線は一意に決まりますが、平衡だったらどうなるのか？簡単ですから確認しておきましょう。 3Dで平行なベクトルは、互いに定数倍になっているので、 v1 = (x,y,z) v2 = (c*x, c*y, c*z) となります。この外積を計算すると、
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http://www.ipa.go.jp/about/news/event/ipax2008/pdf/IPAX2008_pre_tachi.pdf
Triangular mesh fitted to NURBS surface - OpenProcessing
http://softsurfer.com/Archive/algorithm_0101/algorithm_0101.htm
無誤差４次元超３角形幾何に基づく ソリッドモデリングに関する研究 − 幾何無矛盾化アルゴリズム − ２００５年３月 
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