ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理はなぜ重要か． | mutanoblog
\(\mathbb{R}^n\)において，有界無限点列は収束する部分列を持つ． ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理です． 大学１年生もしくは２年生で理系の人間は微積分を学ぶと思います．そして，その中で最初の方に出てくるけどその重要性が全然わからない定理． ぼくにとってはそんな思い出のある定理です． 最初こんなものを見せられてもぴんと来ないのが普通だと思います．ぼくも初めてこの定理を見たときには何を言っているのかピンときませんでしたし，何がうれしいのかもよくわかりませんでした． しかし，数学科で２年生に習った位相空間論を踏まえるとこの定理の重要性がようやく理解できました． この定理の重要性は，ユークリッド空間におけるコンパクト集合の特殊性にあります． 証明は省略しますが，次のような事実が知られています． 距離空間において次の3条件は同値である． 1) コンパクトである． 2) 点列コンパ
数学におけるコンパクトとは何か
解析や幾何の専門書を読んでいると必ずと言っていいほど現る「コンパクト」という概念.定義だけ見ても何のことやらさっぱりでイメージも掴めない難しい概念です.コンパクトのイメージとその恩恵や考える動機を考えてみます. 目次【本記事の内容】 コンパクトは位相空間の一つの性質 お前はもう覆われている コンパクトを考えることの恩恵 コンパクトのまとめ コンパクトは位相空間の一つの性質 まず「コンパクト」という概念は,「位相空間」で定義される性質です. 「位相空間」とは位相が入った集合（数の集まり）のことで, 「位相」とは遠い・近いを測るものさしのようなものです. 例えば,数直線上で点（数）と点（数）の距離を数の差の絶対値とすると,この数直線は位相が入った空間、位相空間となります. これは「距離空間」という位相空間の一種です. 数直線上の距離 数直線で,絶対値による数の距離を定義すると,図の下段のように
部分列、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理とは：点列コンパクトとの関係 | 趣味の大学数学
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理（Bolzano–Weierstrass theorem） すべての実数列は有界ならば、収束する部分列を持つ。 この主張は何を言っているのか、順を追って話したいと思います。 まず、収束する数列は必ず有界な数列となる、という一般論があります。収束の定義から、ある番号\(N\)以降はその変動は例えば1以下であるようにできます。また、それ以前の項は有限個なので、その変動の最大値を利用すれば良いわけです。 つまり、収束する数列を見つけたかったら、必ず有界な数列の中から見つけなければなりません。もし非有界な数列を考えたら、それは収束しないので。 では、有界な数列を考えれば必ず収束するかというと、そういうわけでもありません。 例えば、\(a_n =(-1)^n\)という数列を考えましょう。\(K=1\)とすると、すべての\(n\in \mathbb{N}\)に対し
位相空間の導入のために距離空間を理解する - Qiita
位相空間論を勉強し始めたけど,位相の定義の「気持ち」がわからないという方に向けて具体的に分かりやすく解説してみようと思います. また関数解析を勉強する際にも役立つような内容だと思っています. 理学部ではなく工学出身なので,できるだけ工学系の人にわかりやすく書いたつもりです. その分厳密性には欠けるかもしれませんがご容赦ください. 位相空間とは 誤解を恐れずにまず位相空間とは何かを説明しましょう. ある集合$X$があって,その元$x$と元$y$との間の距離を数値を使わずに表現できる道具が備え付けられた空間のこと. そしてこの道具のことを位相1といい,空間$X$と位相の組を位相空間2とよびます. 位相空間について理解するためには距離空間について知っておかないと定義・定理の意味や何をしめそうとしているかもわからないことが多いでしょう. まず, 距離について理解を深める必要があります. ところで,
大学数学の難関分野：【位相空間論】とは一体何なのか？｜きいねく
第1節 数学の3つの柱と位相空間論の役割 大学の数学科で学ぶ数学には，実に様々な分野があります．それらは主に次の3つの分野に類別されることが多いです． 【解析】 【代数】 【幾何】 純粋数学は，厳密な論理を土台として展開されます．解析・代数・幾何，それぞれの分野にも特有の論理の土台が存在します．解析なら実数や微分などの論理，代数であれば群や環の論理，そして幾何なら空間の論理などです． 位相空間は幾何学を展開する上で最も基本的なものである連続概念の論理的な部分を扱う分野であると言えます． 空間の中では，連続変形や微分積分など様々なことが行われます．そのなかでも空間の連続性に着目し，それを突き詰めて考えていくと出てくるのが位相空間という考え方です． 私たちが空間を思いうかべるとき，そこには必ず連続という考え方があります．空間の中で図形を「連続的に動かす」とかグラフが「連続的につながっている」な
意外と位相に関係あるメモ 【位相入門】
last update 2007.3.28 なんとなく分かっている気になっている「距離」とか「次元」という概念を、 数学的に厳密に定義するとどうなるのか。 その洗練された抽象思考を、イメージで理解してみよう。 集合/ 冪集合/ 宇宙/ 順序集合/ 開集合/ 閉集合/ 位相空間/ 距離空間/ ハウスドルフ空間/ 連結/ 連続関数/ 同相写像/ 被覆/ コンパクト/ 位数/ 次元/ 多様体/ 位相多様体/ 微分可能多様体/ 群/ 加群/ 体/ 環/ 半群/ 商群/ 準群/ 束/ 位相群/ 位相変換群/ リー群/ ミンコフスキー空間/ リーマン多様体/ 擬リーマン多様体/ ファイバー束 ♪コラム：無限 集合 set [定義] 直観または思考の対象のうちで一定範囲にあるものを１つの全体として考えたとき、 その範囲内の個々の対象を元または要素 element といい、 全体を集合 set という。
東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系
大岡山地区の建物 大学正門より，桜並木のウッドデッキを通り，右手の芝生をつっきる小径が西8号館，西7号館に続くみちです． 大岡山西8号館（Ｅ棟，Ｗ棟）: キャンパスマップの18, 19番の建物にあたります．本館の西隣りに位置しています．正面玄関をはいったところは３階です． Ｅ棟においでの方は廊下をはいってすぐ左手のエレベータをご利用下さい． Ｗ棟にはじめておいでの方は十分に注意して下さい．Ｅ棟とＷ棟を繋いでいる通路は３階と１０階にしかありません．Ｅ棟のエレベータを利用すると迷子になります．正面玄関から廊下をまっすぐにおいでになり，奥の右手にあるエレベータをご利用下さい． 西7号館：キャンパスマップの17番の建物にあたります．西8号館から，建物を二つ挟んだ並びにあります．芝生から向う場合，左手に本館を見ながら進み，本館がとぎれたあたりの右手にある小さな建物が西7号館です．橋を渡ってはいったと
授業関連のページ
授業関連(あまり関連してないのもありますが(^_^;))のプリントのPDFファイル, TeXソースなどがダウンロードできます. ・微分積分学 微積分学Iの授業で配布したプリント (2017年7月28日版) [PDFファイル] [TeXソース] 微積分学IIの授業で配布したプリント (2017年9月29日版) [PDFファイル] [TeXソース] 微積分学ノート (2024年1月28日版) [PDFファイル] [TeXソース] コメント：微積分学に関して作ったプリントなどをまとめました. 本文が125ページあります. 微積分学Iの演習問題 (2019年7月27日版) [PDFファイル] [TeXソース] 微積分学IIの演習問題 (2018年2月16日版) [PDFファイル] [TeXソース] 微積分学I・IIの演習問題 (2024年5月13日版, フルバージョン) [PDFファイル] [Te
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R全体、空集合を開集合と呼んでよい理由
Set and Topology II, 2015
http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/~tsukuda/lecturenotes/htnote/htnotech2.html
位相空間・質問箱