ガウス素数で戯れる - 完全無欠で荒唐無稽な夢
複素数で整数を構成したガウス整数で「素数」を考えることができる。1,1+i,-i....,4+7iなどが整数になる。 ガウス整数は自然数の世界とは似ているがやや異なる特徴がある。それを解明したのはガウスだ。 ガウスは天才的な閃きにより素因数分解の一意性をこの世界にもたらした。 その結果、例えば、この世界では２は素数でなくなる。 ２＝(１＋ｉ)（１−ｉ）だからだ。 ガウス平面で「素数」をプロットするとこんな感じとなる。もちろんガウス整数でも「素数」は無限に存在している。 大きめにガウス平面をひらき、「素数」の存在パターンを図示するとこうなる。縦軸が虚軸だ。 これを拡大する。原点のまわりので対称性が分かるであろう。 実数軸も複素軸も各部分が２０以内にしてある。 さて、ここからが戯れだ。 「素数」のノルムを幾つかに分けてやる。ノルムとは複素数の絶対値だ。 １０＜ｎ＜５０ ５０＜ｎ＜１００ １００
ガウス素数
ノルムが1より大きいガウス整数は，単数とそれ自身の同伴数以外の約数をもたないとき ガウス素数と呼ばれる． すると有理整数の場合と同様に素因数分解ができる．分解の存在はノルムに関する 数学的帰納法でできる．一意性の証明は，有理整数に関する一連の性質をガウス環について おこなったうえで同様に示される．よってその証明は略する． 代わって、ツェルメロの証明をガウス素数の場合に行う．
ガウス素数とアイゼンシュタイン素数
「1と自分自身以外に約数を持たない自然数(1は含まない)」を「素数」と呼び、 素数でない1より大きい自然数を「合成数」と呼ぶ。 ※素数は、英語で「prime number」、 ドイツ語で「Primzahl(プリムツァール)」 とも呼ばれる。 素数は、それが大きな素数でなければ、 エラトステネスの篩(ふるい) 等の方法により、列挙することができる。 エラトステネスの篩(ふるい) 素数2は、唯一の偶数の素数であり、これを「偶素数」と呼ぶ。 即ち、2以外の偶数は、2で割り切れるので、合成数である。 同様に、3の倍数、5の倍数、7の倍数、…の順に合成数を取り除いていくと、 最終的に素数のみが残る、というのが 「エラトステネスの篩(ふるい)」である。 因みに、100以下の素数は25個存在し、小さい順に次の通りである。 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 3
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