３次元の回転 (原点を通る任意方向回転軸，座標系に依存しないベクトル表現と回転行列)
O：原点 OA：回転軸 P：回転前の点の位置 P'：回転後の点の位置 Q：点 P を含む回転面と回転軸の交点 a：回転軸の方向・向きを表す単位ベクトル θ：回転角 回転方向は，座標系が右手系ならば a に対して右ネジの向き，左手系ならば左ネジの向きとする． p ≡ O→P p' ≡ O→P' u ≡ Q→P v ≡ a × u (u を +90°回転させたベクトル) 注意：右手系と左手系では外積の向きの定義が逆になる． O→Q は単位ベクトル a に対する p の平行成分，u は垂直成分なので， ……………………………………… (2.2.1) ………………… (2.2.2) v は定義より， …………………(2.2.3) a⊥u かつ |a|＝1 なので，|u|＝|v| である点に注意． 以上と u⊥v であることを考慮すると，回転後の位置 p' は２次元の回転の式を使って次のように書ける
３点の座標から簡単に角度と回転方向を求める．(2・3・N次元，外積を用いる方法)
S ≡ (Px - Cx) * (Qy - Cy) - (Py - Cy) * (Qx - Cx) とする．S＞0 なら左回り，S＜0 なら右回り，S＝0 ならば C，P，Q は一直線上にある．(注) なお，この判別方法は，CP と CQ が同じ長さである必要はない． θを求めたい場合はこちらへ． この問題を見て，逆三角関数 tan-1 (Ｃ言語では atan() や atan2()) を使って CP と CQ の角度をそれぞれ求め， 両者を比較しようと考えた方が多いのではないでしょうか． しかしこの問題では，角度そのものではなく角度差の符号を求めればよいので， 逆三角関数を使う方法よりも簡単で優れた，外積を使う方法を紹介します． ２つの２次元ベクトル A＝(Ax, Ay), B＝(Bx, By) の外積を次のように定義する． A × B ≡ Ax * By － Ay * Bx ここで O
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