３次元の回転 (原点を通る任意方向回転軸，座標系に依存しないベクトル表現と回転行列)

O：原点 OA：回転軸 P：回転前の点の位置 P'：回転後の点の位置 Q：点 P を含む回転面と回転軸の交点 a：回転軸の方向・向きを表す単位ベクトル θ：回転角 回転方向は，座標系が右手系ならば a に対して右ネジの向き，左手系ならば左ネジの向きとする． p ≡ O→P p' ≡ O→P' u ≡ Q→P v ≡ a × u (u を +90°回転させたベクトル) 注意：右手系と左手系では外積の向きの定義が逆になる． O→Q は単位ベクトル a に対する p の平行成分，u は垂直成分なので， ……………………………………… (2.2.1) ………………… (2.2.2) v は定義より， …………………(2.2.3) a⊥u かつ |a|＝1 なので，|u|＝|v| である点に注意． 以上と u⊥v であることを考慮すると，回転後の位置 p' は２次元の回転の式を使って次のように書ける