双曲空間でのMachine Learningの最近の進展 - ABEJA Tech Blog
ABEJAでReseacherをしている白川です。 以前、Poincaré Embeddingsという双曲空間への埋め込み手法をご紹介しました。当時、木構造データを5次元の空間に精度良く埋め込めるということで話題になったのですが、その後双曲空間での機械学習手法が多数研究・提案され、双曲空間での機械学習についての理解をバージョンアップする必要があるなと感じたので、最近の研究の進展を中心に理論背景含めてご紹介したいと思います。 tech-blog.abeja.asia Tl;dr 本記事で伝えたいのは、論文の各論というより、各種論文で共通/独自に主張されている下記のような内容です。 木なら2次元で十分 双曲空間では指数写像/対数写像が明示的に計算され空間全体に拡張されるので取扱が容易 Gyrovector space: 双曲空間における線形代数のような代数構造 Riemann幾何とGyrove
ジャイロベクトル空間 - Wikipedia
ジャイロベクトル空間（ジャイロベクトルくうかん、英: gyrovector space）はAbraham A. Ungarによって提案された数学的構造である。ユークリッド幾何学の研究にベクトル空間が用いられるのと同様に、ジャイロベクトル空間は双曲幾何学の研究に用いられる。Ungarは、通常のベクトルが加算に関して群を成す代わりに、加算に関してジャイロ群を成すものとしてジャイロベクトルを定式化した。Ungarは、特殊相対性理論における速度の合成を表すためのローレンツブーストに代わる手法としてジャイロベクトル空間を開発した。これは「ジャイロオペレータ」を導入することで達成されている。ジャイロオペレータは2つの3次元ベクトルから作られ、3次元ベクトルに対する作用素となる。 名称[編集] ジャイロ群（gyrogroup）は弱い結合性を持つ、群に似た構造である。Ungarはジャイロ可換性を持つジャイ
双曲幾何学 - Wikipedia
双曲幾何学（そうきょくきかがく、英語: hyperbolic geometry[1][2][3]）またはボヤイ・ロバチェフスキー幾何学 (英: Bolyai-Lobachevskian geometry[4]) とは、まっすぐな空間（ユークリッド空間、放物幾何的空間）ではなく、負の曲率を持つ曲がった空間における幾何学である。[1][2][3][5][6] ユークリッド幾何学の検証ということでサッケリーなども幾つかの定理を導いているが、完全で矛盾のない公理系を持ちながらユークリッド幾何学ではないような新しい幾何学と認識してまとめたのは同時期にそれぞれ独立に発表したロバチェフスキー（1829年発表[7]）、ボヤイ（1832年発表[8]）、およびガウス（発表せず）らの功績である。 ユークリッドのユークリッド原論の5番目の公準（任意の直線上にない一点を通る平行な直線がただ一本存在すること、 平行線
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