無限大の基本的な考え方 - 大人になってからの再学習
日常では際限なく大きな数を表すのに「無限大」という言葉を使うけれど、数学の世界で登場する「無限大」は少し趣が違う。 え！？ どうして？ と思うような不思議なことが多いので、簡単な事柄だけまとめてみる。 まず、自然数 1,2,3,... の数について考える。 自然数は際限なく大きくできるので、自然数の数は無限大である。 でも、単に無限大と呼ぶのは正確で無い。 自然数に含まれる数は、1番目、2番目、・・・、と順番に番号付けすることができるので 可付番無限（countable infinity）と呼ばれる。 さて、大切な点として、 この自然数と1対1の対応付けができる集合の数は、やはり可付番無限（countable infinity）と呼ばれ、 記号（アレフゼロ）で表される。 では、自然数の中で、偶数の数はいくつあるだろうか。 偶数 2n は、自然数 n に1対1の対応付けをすることができるので
数理論理学に出てくる用語のまとめ - 大人になってからの再学習
参考： これだけは知っておきたい数学ビギナーズマニュアル 作者: 佐藤文広出版社/メーカー: 日本評論社発売日: 1994/06メディア: 単行本購入: 4人 クリック: 21回この商品を含むブログ (16件) を見る ■公理：Axiom 理論の土台となる約束事。前提事項。 （証明の必要は無い。） ■定義：Definition 新しく導入する述語や単語の正確な意味を定めること 以降の「定理」・「命題」・「系」・「補題」はいずれも定義・公理に基づく厳密な推論により証明された主張。 違いは、理論の中で果たしている「役割」であって、厳密な区別は無い。 最も一般的なものは「命題」で、他の定理、系、補題も命題の一種と言うことができる。 ■定理：Theorem 成り立つことが証明済みの命題で、特に重要であるもの。 （公理から真であることが導き出される） ■命題：Proposition 定理と呼ぶほどで
数学で用いられる基本的な記号 - 大人になってからの再学習
前回のエントリと同様に、次の書籍より。 これだけは知っておきたい数学ビギナーズマニュアル 作者: 佐藤文広出版社/メーカー: 日本評論社発売日: 1994/06メディア: 単行本購入: 4人 クリック: 21回この商品を含むブログ (16件) を見る N 自然数の集合 Z 整数の集合 Q 有理数の集合 R 実数 C 複素数 c 定数 順列 組み合わせ 数列の要素の和 数列の要素の積 「すべての」 （for all のAをひっくり返したもの） 「存在する」 （exist の Eをひっくり返したもの） 「ただひとつ存在する」 s.t. such that の略 # #A のように表記して、集合Aの元の個数を表す 例 ↓ となるような 実数 x が存在する 例 ↓ 任意の正数 に対し、 ならば となるような正数が存在する。 数式を読みとくコツ―「数式は哲学だ」と割り切ってみよう 作者: 杉原厚吉
2つのボールをぶつけると円周率がわかる - 大人になってからの再学習
一か月ほど前に New York Times で紹介されていた記事。 The Pi Machine - NYTimes.com ここで紹介されているのは、なんと驚くべきことに、2つのボールをぶつけるだけで円周率（3.1415...）の値がわかる、という内容。 これだけだと、全然ピンとこないと思うので、もう少し詳しく説明すると、次のようなことが書かれている。 ↓2つのボールを、下の図ように壁と床のある空間に置く。 ↓その後、壁から遠い方のボールを、他方に向かって転がす。 後は、ボールが衝突する回数をカウントするだけで、円周率がわかるらしい。 これでも、なんだかよくわからない。 まず2つのボールが同じ質量である場合を考えてみよう。 まず、手前のボールが他方のボールにぶつかる（これが1回め）。 続いて、ぶつかったボールが移動して壁にぶつかる（これが2回め）。 壁にぶつかったボールが跳ね返ってきて
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