フーリエ級数展開は関数の座標を決めている｜Dr. Kano
ほとんどの工学部の学生はフーリエ級数展開を学ぶと思うが，これが何をしているかということを，イメージを持って理解しておいて欲しい．というのも，何の因果か，大学３回生を対象にした，フーリエ級数展開やフーリエ変換の講義を担当しているからだ．これらに限らず，数学を勉強するときは，イメージを持つことが大切だ．式変形ができても，そのイメージを持てていないと，実際に使うのは難しい． あなたが今いる場所はｘ，ｙ，ｚの３つの座標 (x, y, z) で表現できる．この３つの座標を使うと，他の誰かの場所も特定できる．我々は３次元空間に生きているからだ．２人がどれだけ離れているかは距離を計算すればわかる．（時間は無視） さて，関数 f(x) も無限に存在する．x の多項式であったり，指数関数であったり，三角関数であったり，何でもありだ．それらの関数はどの程度似ていて（近くて），どの程度異なる（遠い）のだろうか．
はじめに 東京大学の小山先生が、フーリエ級数展開のデモンストレーションをMATLABでお書きになった。 講義でフーリエ変換というかフーリエ級数展開の説明用に作った動画をせっかくなのでここに置いておく。。 pic.twitter.com/2wm4ecjdty— Shoichi Koyama (@sh01) 2020年5月1日 この素晴らしいアニメーションをPythonで再現するスクリプトを書いても良いのではないかと思い、今回の表題に至るわけである。 ちなみに再現したアニメーションは以下の通りである。グラフの軸ラベルがずっと固定であったり、描画範囲が微妙に異なるので完全再現ではないが、それなりに再現できていると思われる。 ノコギリ波のアニメの向きを修正して再アップ pic.twitter.com/RuOil5QG0N— mat (@ballforest) 2020年5月2日 スクリプトの解説（
（フーリエ級数自体を理解していない方はこちら） フーリエ変換を理解する上でも，複素フーリエ級数の理解は必須です． しかし，\(\cos\)や\(\sin\)で展開するフーリエ級数が理解できている人はとても簡単な内容だと思います． まずは，これまでやってきた「フーリエ級数」との違いをざっくりと確認して「複素フーリエ級数」に関しての理解を深めていきましょう！ 「フーリエ級数」と「複素フーリエ級数」のイメージの違い 「複素フーリエ級数展開」の理論を理解する前に，「フーリエ級数」との違いを確認してください． あらゆる関数は，フーリエ級数で展開できることは，前回やりました． \(\cos\)や\(\sin\)を使った実数の世界の展開です． 実は，三角関数のみを使った展開は，数学的に取り扱いにくいのです． 周波数成分の振幅や位相というものを導出する際に，色々と式変形を伴うのです． しかし，複素フーリエ
研究で周波数解析をしているけど，内側のアルゴリズムがよく分かっていない人フーリエ級数や直交基底について詳しく分かっていない人数学や工学を学ぶ全ての大学生 こんにちは．けんゆー（@kenyu0501_)です． 今日は，フーリエ級数や直交基底についての説明をしていきます． というのも，信号処理をしている大学生にとっては，周波数解析は日常茶飯事なことだと思いますが，意外と基本的な理屈を知っている人は少ないのではないでしょうか． ここら辺は，フーリエ解析(高速フーリエ変換)などの重要な超絶基本的な部分になるので，絶対理解しておきたいところになります． では，早速やっていきましょう！ フーリエ級数とは！？フーリエ級数は，「あらゆる関数が三角関数の和で表せる」という定理に基づいた素晴らしい関数近似です． これ，結構すごい展開なんですよね． あらゆる関数は，三角関数の足し合わせで表すことができるっていう
フーリエ級数や複素フーリエ級数を学習している人積の積分がなぜ内積とみなされるか知りたい人信号処理のアルゴリズムが好きな人 こんにちは．けんゆー（@kenyu0501_)です． ここでは，フーリエ級数の直交性でしばしば出てくる「関数の積の積分=0」がなぜ「ベクトルの内積=0」に相当するのかということについて書いていきたいと思います． こちらのツイートに画像を貼ったので，サクッと理解したい人は，こちらの画像を見ていただけるとすぐに理解できると思います． 【フーリエ級数の直交性の話】 内積=0で直交しているは高校数学で習いますよね． しかし，関数の積の積分=0は習いませんよね． 実は，そうなった場合も直交なのです． フーリエ級数やフーリエ変換は，この直交性という概念が大事になるのです． これ，ものすごく大切です！！！！！！！！！ pic.twitter.com/SGQejOwH3M — けんゆー
周波数解析を行うための必須なコンテンツをまとめています． フーリエ級数複素フーリエ級数フーリエ変換離散フーリエ変換 (DFT)高速フーリエ変換 (FFT) こんにちは．けんゆー（@kenyu0501_)です． さてこの記事は，フーリエ級数から高速フーリエ変換まで理解したい人のためのものです． スライドからブログ記事，Youtube動画をまとめましたので，しっかりと理解していってください． 統括スライドについて ここに，全てが詰まっています． ダウンロードもご自由にどうぞ． 基本的においらがアップロードしてる資料は使って貰っていいのです、、 基本的に、、(意味深) ひと声頂ければ嬉しいですが、そんなことやる必要もないです( ´ ▽ ` ) — けんゆー@博士課程 (@kenyu0501_) July 8, 2019 基本的においらがアップロードしている資料は使ってもらって良いです，， 基本的
Shoichi Koyama on Twitter: "講義でフーリエ変換というかフーリエ級数展開の説明用に作った動画をせっかくなのでここに置いておく。。 https://t.co/2wm4ecjdty"
講義でフーリエ変換というかフーリエ級数展開の説明用に作った動画をせっかくなのでここに置いておく。。 https://t.co/2wm4ecjdty
$$\newcommand{\diff}{\mathrm{d}}$$ ディラックのデルタ関数は、物理的な要請で英国の物理学者、ポール・ディラックによって考案された“超関数”と呼ばれるものですが、大概、そんなことは気にせずに”関数”として扱っています。それは、それでいいのですが、それではディラックのデルタ関数とフーリエ級数との関係はどのようなものなのでしょうか。ここでは複素フーリエ級数とディラックの関数との関係を説明して行きます。 複素フーリエ級数とは？ 複素フーリエ級数は一度取り上げていますが、ここで復習しておきます。まず、複素フーリエ級数を考える上でオイラーの公式を知っていなければなりません。オイラーの公式は、次のとおりです。 $$\mathrm{e}^{ix} = \cos x+ i\sin x$$でしたね。この式から次のような式が導き出せます。 $$\begin{align*}\ma
2 最良近似としてのフーリエ級数
のの実験データがあるとする．これを直線で近似したい．どうすればよ いか?--という問題である．誤差の2乗が最小になる直線が最良近似とすることができる． これを最小二乗法(least squares method)と言う．式で表すと，誤差の二乗の和は，
のこぎり波とは：フーリエ級数展開の求め方 | 趣味の大学数学
のこぎり波（sawtooth wave）は、のこぎりのようにギザギザとした次の図のような波です。 数学的には、 \[ \begin{aligned}f(x)= x\quad (-\pi < x <\pi)\end{aligned} \] を周期\(2\pi\)の関数として周期的に拡張（\(f(x)=f(x+2n\pi)\)）したものです。より明示的には、 \[ \begin{aligned}f(x)=x-2\pi \lfloor \frac{x}{2\pi}+\frac{1}{2}\rfloor\end{aligned} \] と定義できます。ここで\(\lfloor x\rfloor\)は床関数（整数部分）です。 中身に注目すると、\(x= -\pi\)で\(\lfloor \frac{-\pi}{2\pi}+\frac{1}{2}\rfloor=0\)、\(x=\pi\)で\(\lf
Pythonで学ぶフーリエ解析と信号処理 (神永 正博)(著)、コロナ社)の第2章(フーリエ級数展開)、章末問題2-20の解答を求めてみる。 コード(Python) #!/usr/bin/env python3 import mpmath as mp import matplotlib.pyplot as plt print('2-20.') I = [-mp.pi, mp.pi] def x(t): return t * mp.exp(t) * mp.sin(t) def psval(t): return mp.fourierval(mp.fourier(x, I, 3), I, t) mp.plot([x, psval], xlim=I)
Pythonで学ぶフーリエ解析と信号処理 (神永 正博)(著)、コロナ社)の第2章(フーリエ級数展開)、章末問題2-11の解答を求めてみる。 コード(Wolfram Language, Jupyter)
a n = 1 π [ - cos ( n + 1 ) t n + 1 + cos ( n - 1 ) t n - 1 ] 0 π
こんにちは、ももやまです。 三角関数表記のフーリエ級数変換、\( a_k \), \( b_k \), \( a_0 \) のように3つ係数が出てきて非常にめんどくさいですよね。 そこで、今回はこの3つある表記を複素数の力を借りて1つにする方法について説明していきましょう！ （この内容は、次のフーリエ変換につながるので、仕組みを理解しましょう！！） 周期 \( T \) の区分的な連続関数 \( f(t) \) のフーリエ級数展開は、\[ f(t) = \frac{ a_0 }{2} + \sum^{\infty}_{k = 1} \left( a_k \cos k \omega t + b_k \sin k \omega t \right) \]と表せる。ただし、\[ a_k = \frac{2}{T} \int^{T}_{0} f(t) \cos k \omega t \ dt \ \
フーリエ級数の収束 - Wikipedia
フーリエ級数の収束（フーリエきゅうすうのしゅうそく）は純粋数学における調和解析の分野で研究される問題である。フーリエ級数は一般には収束するとは限らず、収束するための条件が存在する。 収束性の判断には各点収束、一様収束、絶対収束、L p 空間、総和法、チェザロ和の知識を要する。 前提[編集] 区間 [0, 2π] で可積分な f を考える。f のフーリエ係数 (Fourier coefficient) は以下のように定められる。 関数 f とそのフーリエ級数の関係は通常次のように記述される。 ここで ∼ は和がある意味で関数を表現することを意味する。より慎重な議論を要する場合には、部分和を以下のように定義する： このとき気になるであろう問題は次の事である： 関数 SN(f;t) は f へ、またどの意味で収束するだろうか？ 収束を保証する f の条件は何だろうか？ この記事ではこれらの問に関
どうも、木村（@kimu3_slime）です。 今回は、線形代数の応用として、関数の「空間・基底・内積」を使ったフーリエ級数展開を紹介します。 フーリエ級数展開とはまず、フーリエ級数展開とは何か、簡単に紹介しておきましょう。 18世紀の数学者・物理学者のジョゼフ・フーリエ（Fourier）は、固体の内部における熱伝導の時間発展について、すなわち熱伝導方程式を研究し、次のようなアイデアにたどり着きました。 任意の関数は、三角関数の無限和（フーリエ級数）として展開できる。 \[\begin{aligned} f(x)&=a_0 + a_1 \cos x + b_1 \sin x \\&+a_2 \cos 2x+ b_2 \sin 2x +\cdots \end{aligned} \] 「任意の関数」の意味合いは後に厳密化されていましたが、「三角関数に分解できる」というアイデアは正しく有効なもの
#!/usr/bin/env python3 import random import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt print('2-18.') def partialsum(t, n, a): return np.sin(np.pi * a) / (np.pi * a) + 2 / np.pi * \ sum(a * (-1) ** (k - 1) * np.sin(a * np.pi) * np.cos(k * t) / (k ** 2 - a ** 2) for k in range(1, n + 1)) vectorized = np.vectorize(partialsum) t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 10000) n = 5 for i in range(5): a = random
#!/usr/bin/env python3 import random import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt print('2-17.') def partialsum(t, n, a): return 2 / np.pi * \ sum(k * (-1) ** k * np.sin(a * np.pi) * np.sin(k * t) / (a ** 2 - k ** 2) for k in range(1, n + 1)) vectorized = np.vectorize(partialsum) t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 10000) n = 5 for i in range(5): a = random.random() * 5 print(a) fig = plt.figure(
解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第19章(フーリエ展開)、19.1(三角関数系とフーリエ級数)、問題1の解答を求めてみる。 | c n | 2 = a n - i b n 2 ( a n - i b n 2 ) - = ( a n - i b n ) ( a n - + i b n - ) 4 = | a n | 2 + | b n | 2 + i ( a n b - n - a - n b n ) 4 | c - n | 2 = a n + i b n 2 · ( a n + i b n 2 ) - = ( a n + i b n ) ( a - n - i b - n ) 4 = | a n | 2 + | b n | 2 + i ( a - n b n - a n b - n ) 4
鋸歯状波のフーリエ級数 - 数式で独楽する
本稿では、鋸歯状波(のこぎり波)のフーリエ級数を見ていきます。 鋸歯状波とは、その名の通り、鋸の歯の形をした波のことです。 波高が徐々に高くなり、急降下するものです。 数式で書くと、次のようになります。 \begin{eqnarray} f(x) &=& x \quad (-\pi < x < \pi) \\ f(x +2\pi) &=& f(x) \end{eqnarray}*1 フーリエ級数に展開すると、次のようになります。 \begin{equation} f(x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n -1} \, \frac{2}{n} \, \sin nx \end{equation} 関数は奇関数なので、奇関数である正弦関数で展開することになります。 フーリエ係数は、 \begin{eqnarray} b_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{
群論の初歩、すなわち加法群(Additive Group)設定の話から再出発します。 【Python演算処理】環論に立脚した全体像再構築①空環と実数環 まず自然数集合$\mathbb{N}$に加法単位元(Additive Identity)0を追加した集合Aを用意する。 その逆元(Inverse Element)$A^{-1}$を用意する。 両者を統合すると加法整数群(Additive Integer Group)$\mathbb{Z}^2$が構成される。 さらに以下の考え方を導入し加法複素群(Additive Complex Group)$\mathbb{C}^2$を定義する。 群同型 Wikipedia 加法整数群$(\mathbb {Z},+)$は加法実数群$(\mathbb{R},+)$の部分群であり、商群$\frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}}$は、同型写像$
目的Fourier 変換から出発し、複素型の Fourier 級数および離散時間 Fourier 変換を導出し、さらにそれらから離散 Fourier 変換を導出する方法を知る。なるべく step-by-step に記述するが、怪しい式操作は気にしない。 原理下の図のように、それぞれの変換について対象となる関数の周期化や離散化を施すと別の変換を得られる。 \begin{CD} \text{Fourier 変換} @>{\text{時間領域周期化}}>{\text{周波数領域離散化}}> \text{Fourier 級数} \\ @V{\text{時間・離散}}V{\text{周波数・周期}}V @V{\text{周波数・周期}}V{\text{時間・離散}}V \\ \text{離散時間 Fourier 変換} @>{\text{周波数・離散}}>{\text{時間・周期}}> \text{
物理数学：複素フーリエ級数
複素数を学ぶと次のような「オイラーの公式」が早い段階で出てくる. この公式を利用すれば次のような式を作ることもできる. フーリエ級数は関数と関数ばかりで出来ていたから,この公式を使えば全てを指数関数を使った形に書き換えられそうである.複雑になるのか簡単になるのかはやってみないと分からないが,結果を先に言ってしまうと,怖いくらいに綺麗にまとまってしまうのである. まず,書き換える前のフーリエ級数を書いておこう. ただし,係数とは次の通りである. では早速始めよう.(3) 式に (1) 式と (2) 式を当てはめる. まだ途中だが,説明を入れておこう.この最後のところではなかなか無茶なことをやっている.しかし難しくはない.二つの指数関数を同じ形にしてまとめたいがために,和の記号のの範囲を変えてからへの和を取るように変更したのである.そのために,などという記号が一時的に導入されているが,ここでの
うさぎでもわかるフーリエ級数展開 仕組み・計算方法
こんにちは、ももやまです。 工学部の数学で、「フーリエ級数展開」という言葉を聞いたことがある人は多いかと思います。しかし、「あれなにやってんだ!?」と思った人もいるかもしれません。 今回はそんな「フーリエ級数展開」について仕組み・計算方法についてわかりやすく説明していきたいと思います。 １．フーリエ級数展開とは まずは下のグラフをみてみましょう。 この関数のグラフはある一定の間隔で同じ形の曲線を繰り返していますね。このような関数のことを周期関数と呼びます。数式で書くと、すべての自然数 \( k \) に対し、\[ f(t) = f(t+kT) \]となるような関数のことを周期 \( T \) の周期関数と呼びます。 フーリエ級数展開は、周期関数を皆さんおなじみの偶関数 \( \cos \) と奇関数 \( \sin \) の2つに分解して表そう！ というやつです。 ２．フーリエ級数展開で用
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt #x軸を定義する x = np.arange(-np.pi,np.pi,0.01) #シグマの中身の関数 def func(k): return -1*(((-1)**k)/k)*np.sin(k*x) #シグマ演算の関数. 引数で和の範囲を指定. def sigma(func,frm,to): ret = np.zeros_like(x) for i in range(frm,to): ret += func(i) return ret #フーリエ級数展開の関数 f = sigma(func,1,100) #結果の表示 fig, ax = plt.subplots(1,1) ax.set_aspect('equal') ax.plot(x,f) plt.show() #こっちは足されてい
複素数 実部、絶対値、不等式、オイラーの公式、三角関数、正弦と余弦、共役複素数、フーリエ級数、フーリエ係数、矩形波 - 計算機科学のブログ
複素数 実部、絶対値、不等式、オイラーの公式、三角関数、正弦と余弦、共役複素数、フーリエ級数、フーリエ係数、矩形波
『フーリエ級数 ＜岩波全書＞（猪狩惺）』 販売ページ
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本章はフーリエ級数展開とフーリエ変換について述べる．これらフーリエ解析は振動の分析に適用する事ができ，線形時不変システムより広い分野で利用されているため，非常に多くの教科書がある．このため，本資料では数式の証明や導出は省略し，振動の分析という観点からの解説を行う．尚，フーリエ解析における種々の関係は，以下の f (t) が複素数の場合でも成立するが，その物理的な意味を見い出す事は容易ではないため，本資料では扱わない． 8.1. フーリエ級数展開 周期 2π の周期関数のフーリエ級数展開 周期 2L の周期関数のフーリエ級数展開 フーリエ級数の収束 ギブスの現象 窓関数によるリップルの抑制 8.2. フーリエ変換 フーリエ変換の定義 フーリエ逆変換の収束 フーリエ変換の定理 8.1. フーリエ級数展開 周期 2π の周期関数のフーリエ級数展開 f (t) を区間 [−π, π] で定義された
a n = 1 2 π [ - 1 n + 1 cos ( n + 1 ) t + 1 n - 1 cos ( n - 1 ) t ] 0 π = 1 2 π ( - 1 n + 1 cos ( n + 1 ) π + 1 n - 1 cos ( n - 1 ) π + 1 n + 1 - 1 n - 1 )
複素平面上の点 \(\alpha\) を中心とする半径 \(R\) の円を考えよう。円周上の点 \(z\) は \begin{equation} z = \alpha + R \2 e^{i\pi x/L} \4 ( R, L \gt 0 ) \label{z} \end{equation} と表現することができる。ただし、\(x\) は円周上の位置を表す実数のパラメーターである。\(z\) は \(x\) が \(2L\) 変化するごとに同じ値をとることになる。この円周の上で定義された任意の複素関数 \(f(z)\) は \begin{equation} f(z) = f( \alpha + R \2 e^{i\pi x/L} ) =: \phi(x) \end{equation} のように \(x\) の関数 \(\phi(x)\) として表すこともできる。（\(\,x\) は実数だけ
Pythonで学ぶフーリエ解析と信号処理 (神永 正博)(著)、コロナ社)の第2章(フーリエ級数展開)、章末問題2-12、13Mdii4K の解答を求めてみる。 コード(Python) #!/usr/bin/env python3 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from FourierExpansion1 import partialsum from SinConExpansion import partialsumcos, partialsumsin, npsaw print('2.') t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 1000) for x in [np.abs(t)] + [partialsum(t, n) for n in range(6, 8)]: plt.plot(t, x)
a n = 2 2 π ∫ - π π t 2 cos n t dt = 2 π ∫ 0 π t 2 cos n t dt
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n - 1 ) 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 n ) 2
そもそもの「フーリエ変換」と「フーリエ級数」の違いについては以下のサイトが詳しい。 フーリエ変換とDFTの関係 離散化と周期化 ざっとまとめると、 フーリエ変換：x（連続、非周期）→ k（連続、非周期） フーリエ級数：x（連続、周期）→ k（離散、非周期） z変換：x（離散、非周期）→ k（連続、周期） 離散フーリエ変換：（離散、非周期）→ k（離散、非周期） したがって、周期結晶では周期性があるので、フーリエ級数に対応する。 しかし、固体物理で言う周期性には二段階あるため、注意が必要である。簡単のため一次元を考えると、 周期: unit cellの周期性 周期: 個のunit cellの周期性 というのは、フーリエ級数展開するのときのパラメータの様なものだと考えるのが簡単である。 もう少し説明すると、「がunit cellの周期」であることを一旦忘れて、「が領域のデータ点の間隔」と思えば
フーリエ級数 - 基礎からの数学入門
ここではフーリエ級数、フーリエ係数を導く手順を地味に書き下してみます。級数の収束条件等の話題については別の資料を参考にしてください。 周期 \(2L\) [s] の関数 \(f(t)\) を、同じく周期関数である \(\sin\) と \(\cos\) を使って書き直してみましょう。 周期 \(2L\) [s] の単振動の角周波数 \(\omega\) は \(\omega = \pi / L\) [rad/s] です。
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