フーリエ級数展開は関数の座標を決めている｜Dr. Kano

ほとんどの工学部の学生はフーリエ級数展開を学ぶと思うが，これが何をしているかということを，イメージを持って理解しておいて欲しい．というのも，何の因果か，大学３回生を対象にした，フーリエ級数展開やフーリエ変換の講義を担当しているからだ．これらに限らず，数学を勉強するときは，イメージを持つことが大切だ．式変形ができても，そのイメージを持てていないと，実際に使うのは難しい． あなたが今いる場所はｘ，ｙ，ｚの３つの座標 (x, y, z) で表現できる．この３つの座標を使うと，他の誰かの場所も特定できる．我々は３次元空間に生きているからだ．２人がどれだけ離れているかは距離を計算すればわかる．（時間は無視） さて，関数 f(x) も無限に存在する．x の多項式であったり，指数関数であったり，三角関数であったり，何でもありだ．それらの関数はどの程度似ていて（近くて），どの程度異なる（遠い）のだろうか．

[marmot1123]

任意の関数にもやっとする数学専攻……緩増加超関数の空間くらいにしておいてくれ。

[pixmap]

正規直交関数の内積というイメージはなんとなく持ってたけど、その無限次元での座標が何を意味するのかがよくわからない。

[fraction]

座標関数と座標、座標値、どういう関係なのか？私は座標＝座標関数と思ってたが座標＝座標値なの？

[kamenoseiji]

そう、関数は無限次元のベクトルだし、フーリエ級数展開（に限らず正規直交関数系）は座標変換です。正規直交関数系の中でフーリエ級数は基底exp(iωt)が微分演算の固有関数だから物理に必須ですよね。

[monmon225197810]

何かがすとんと心に落ちてきた気がした。ちと、帰ったら手を動かしてみよう。

[stealthinu]

フーリエ展開は三角関数を「軸」としその係数を座標とした「位置」をを求めるものというイメージのしかた。なるほどなあ…　そんなこと考えたこともなかった。