集合をハッシュする (Zobrist hashing)
Zobrist hashing とは https://en.wikipedia.org/wiki/Zobrist_hashing チェスをするコンピュータを作るときにチェスの状態をハッシュするために Zobrist さんが作ったハッシュ方法らしいです。 できること 集合をハッシュすることで、集合の一致判定が O(1) 時間になります。(衝突することもあります。) 集合 A のハッシュから、A に 1 要素 追加 / 削除 したときのハッシュを O(1) 時間で計算できます。 集合 A のハッシュと集合 B のハッシュから、対称差(XOR) A△B のハッシュを O(1) 時間で計算できます。 やり方 集合の要素として出てくる値にランダムな整数を割り当てます。 集合のハッシュは、その集合の各要素に割り当てられた整数の総 XOR です。 例 1. 集合の要素として出てくる値 : a,b,c に
Optimization Algorithms on Matrix Manifolds - Full Online Text
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実射影空間 (位相の入れ方 ~ 射影平面の4次元線形空間への埋め込み) | 株式会社RICOS
$\mathbf{R}P^n$ の元同士は原点で交わる。そこで、$L_0,L_1 \in \mathbf{R}P^n$ のなす角を $d(L_0,L_1)$ で表すことにする。 この関数 $d \colon \mathbf{R}P^n \times \mathbf{R}P^n \to [0,\pi/2]$ は距離の公理を満たすため、これを用いて $\mathbf{R}P^n$ を距離空間とみなす。 特に、$\mathbf{R}P^n$ は距離空間なので Hausdorff 空間である。 $L_0$と$L_1$のなす角を距離$d(L_0,L_1)$とおく 各 $L \in \mathbf{R}P^n$ は集合として、原点以外の点 $p \in L$ を固定することで $L = \text{\{ $rp \mid r \in \mathbf{R}$ \}}$ とできる。 従って、 $\math
「多様体」とはどんなもの？ 現代数学と現代物理、必須の概念の定義とイメージをつかむ（小笠 英志）
『高次元空間を見る方法』で好評を博した小笠英志さんが上梓した『多様体とは何か』。その執筆の動機は、現代の数学や物理を理解することが、この「多様体」という概念の理解を抜きにしては決して語ることができないことだと言います。 「例えば超弦理論、三体問題、トポロジカル物質、ポアンカレ予想、フェルマー予想、リーマン予想など、何を学ぶにしても必要となる最重要の基本概念のひとつが多様体なのです。皆さまぜひ、本記事で多様体とは何か、その雰囲気を味わって下さい」 本記事では前回の記事「宇宙はどんな形をしているのか」に続き、『多様体とは何か』の一節を紹介することで、多様体の概念を簡単につかみながら、"実は多様体の理解こそ前作の『高次元空間を見る方法』と同様、「高次元空間」という人々を惹き付けてやまない概念を想像する良いアプローチにもなる"ということを見ていきます。 さて、前記事では宇宙の形を想像するための一例
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