双線形関数 [物理のかぎしっぽ]ベクトルは，抽象的にはベクトル空間という集合の元だと考えられました( ベクトル空間と線形写像 参照)．ベクトル空間の元で本質的に重要なのは 線形性 という性質です．つまり，ベクトル空間の元を ，適当なスカラーを とすると，関係式 がなりたつということです． このような抽象的な代数構造は，慣れないと無味乾燥な議論に思えるかも知れませんが，数学的な構造を理解するのには大変に強力です．たとえば，ベクトル空間 上の線形汎関数は，線形関数であって（つまり を満たすということ）， の双対空間と呼ばれるベクトル空間 を形成することを見ました．（ 双対空間 を参照．）これは大変に面白い結果ですが，抽象的な数学の議論に慣れていないと，ちょっとすぐには思いつかないでしょう．このような代数的な構造が分かると，共変ベクトルと反変ベクトルという二つの体系が織り成す双対の世界がクリアに見えてきます．ここまではベクトル
