長岡亮介(ながおかりょうすけ)先生の著作物などに関する情報サイトです。「長岡先生の集中講義」、 「長岡の教科書」、「総合的研究」の追加情報を用意しています。また、動画などを通して、長岡先生の魅力を伝えていくつもりです。
長岡亮介先生の数学｜旺文社
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線形代数とは？初心者にもわかりやすい解説 | HEADBOOST
「線形代数を簡単に理解できるようになりたい…」。そう思ったことはないでしょうか。当ページはまさにそのような人のためのものです。ここでは線形代数の基礎のすべてを、誰でもすぐに、そして直感的に理解できるように、文章だけでなく、以下のような幾何学きかがく的なアニメーションを豊富に使って解説しています。ぜひご覧になってみてください（音は出ませんので安心してご覧ください）。 いかがでしょうか。これから線形代数の基礎概念のすべてを、このようなアニメーションとともに解説していきます。 線形代数の参考書の多くは、難しい数式がたくさん出てきて、見るだけで挫折してしまいそうになります。しかし線形代数は本来とてもシンプルです。だからこそ、これだけ多くの分野で活用されています。そして、このシンプルな線形代数の概念の数々は、アニメーションで視覚的に確認することで、驚くほどすんなりと理解することができます。 実際のと
斜面上の運動 ■わかりやすい高校物理の部屋■
斜面上の運動 斜面上の運動 水平面と θ の角度をなす斜面の上の質量 m の物体が滑り落ちる運動を考えます。 斜面は摩擦の無いなめらかな面であるとします。 物体には鉛直下向きに重力 mg がはたらいています。 この重力 mg を運動方向（斜面方向）と運動方向と垂直な方向に分解します。 運動方向の力の成分（左図の線分1）は、左図の線分2と同じであり、これを求めると、mgsinθ です。この力が物体を滑り落としています。 運動方向と垂直な方向の力の成分は mgcosθ であり、この力は垂直抗力とつり合っています。つり合っているのでこの方向には物体は動かないので、今この方向に関しては何も考えません。 ←（この図は演習問題で頻出です。確実に覚えてください。） ここで角の扱いに慣れていない方のために、左図の θ3 が、なぜ θ になるか説明します。 最初に三角形の底辺（水平線）と平行な補助線を引きま
【応用】条件のついた並べ方（隣り合わない場合） | なかけんの数学ノート
先ほどと同じように、条件が付いている3人を〇、条件が付いていない4人を△とした場合、次のような並び方があります。 1. 〇△〇△〇△△ 2. △〇△〇△△〇 3. △〇△△〇△〇 … まだたくさんありますが、〇が隣り合わない場合というのはいろいろありそうです。先ほどと同じように、列を〇と△に分けてから並べるのは難しそうです。1番目が〇の場合、2番目が〇の場合、…と分けていくのは、場合分けが多すぎます。また、例題1の「全体から引く」方法も難しいでしょう。 実は、【標準】条件のついた並べ方（部分的に固定）で使った「条件を最後に考える」という数え方を、この問題で使うことができます。「条件の付いていない人を並べ、その後で条件のついた人を、隣り合わないように並べる」という方法です。 どういうことかというと、まず、条件の付いていない4人を並べます。 △△△△ この並べ方は $4!$ 通りですね。この状
グラフ理論の基礎 - Qiita
グラフ理論の基礎 - Basics of Graph Theory - ねらい グラフ理論の基礎を学ぶ グラフ (graph)、頂点 (vertex, node) 、辺 (edge) 連結リスト (linked list)、次数 (degree) 深さ優先探索 (depth-first search) 、幅優先探索 (width-first search) 連結成分 (connected components, connected subgraph, cluster) 、シングルトン (singleton) 切断点 (cut vertices) 、切断辺 (cut edges) 経路 (path) 、閉路 (cycle) 最小木 (minimum spanning tree)、最短経路 (shortest path) 巡回セールスマン問題 (traveling salesman probl
ある数が「○の倍数か」を見分けるための“万能”な方法
ある数が割り切れるかどうか、つまりnの倍数であるかどうかを知りたい場面は結構たくさんある。分数を約分するときや、身近なところだと割り勘を計算するときなどだ。 場面の多さに比して、ふつう倍数の判定は難しい。例えば「64811は11の倍数か？」に瞬時に答えられる人はそう多くないはずだ。 ただし、いくつかの小さい整数に対しては、その倍数に関する法則が広く知られていて簡単に見分けられることがある。 例えば、2の倍数なら必ず一の位は2の倍数（偶数）になる。3の倍数であれば、各桁の数字を足し合わせると和が3の倍数になる（例：357→3+5+7＝15は3の倍数）。特に3の倍数の判定法は簡単なので知っておくと便利だ。 ほかのいくつかの素数に対しても、簡単な判定法があるので以下の画像にまとめてみた。また、合成数の判定はこれらを組み合わせて行えばよい（例えば6の倍数は2と3どちらの倍数でもあることを判定するこ
微分法とは何か！その求め方と意味を図解で徹底解説！
数学や統計学をある程度学び進めていくと必ず出会う世界が微分積分です。 そして、数学・統計学に限らず、物理学、経済学、生物学などあらゆる分野でも、その学問を突き詰めていこうとすると微分積分の知識が必要になる場面が訪れてきます。 微分積分というものが現代社会に大きく貢献していることは何となく理解していても、その中身がどんなものはすっかり忘れてしまっている方は少なくないはずです。 そこで、ここでは「微分法とは何か」という答えを、図解を用いてイメージ化し、難しい数式は使わずに解説していきます。 微分の計算はできるけど、意味はよく分からない。もう一度基礎から学びなおしたい。 そうした方に向けて書いた記事です。 教科書を読むだけ分からないことを図解して説明しますので、微分に対するモヤモヤや苦手意識を吹き飛ばすきっかけになれば幸いです。 微分法につながる「平均変化率」 微分法を学ぶためには「平均変化率」
いろんな平均たちの関係を『たった1つの円』で可視化してみる
こんにちは，学生エンジニアの迫佑樹(@yuki_99_s)です． 高校2年生で習う数学の1つに，『相加相乗平均』の関係というものがあります． 初めて「平均」という単語が出て来たのは小学校の時でした． あの頃は，単純に総和を求めて，個数で割ってあげたものを『平均』と呼んでいましたね 高校ではそれを，『相加平均』と呼んでいます． さて，わざわざ『平均』を『相加平均』に言い方を変えたということは，なにかあるはずです． ここでもう1つ現れる平均が『相乗平均』と呼ばれるもの 相乗平均の例として出した今回の問題をみても分かるように，縦と横の長さが異なるものを均一化しようとしているので，これも一種の平均なわけです． 整理すると，aとbの相加平均及び相乗平均はこのようになります． 先ほど，4と9の相加平均は6.5で，4と9の相乗平均は6となっていたように，『相加平均は常に相乗平均以上である』というのが『相
ユークリッドの互除法
home 数学メモ 或る整数aを割り切る（割った余りが0になる）整数bを、aの約数という。逆にaはbの倍数と呼ばれる。 例えば12は12、6、4、3、2、1で割り切れるから、これらは12の約数となる。 9は、9、3、1を約数に持つ。二つの整数の共通の約数を公約数という。12と9の場合は3、1が公約数となる。公約数の中で一番大きいものを最大公約数という。 最大公約数が1の二つの数は「互いに素な関係にある」という（双方が素数とは限らない。例えば9と4は其々合成数（素数ではない）が、最大公約数は1で互いに素）。 最大公約数を求める方法として、ユークリッドの互除法がある。これは、以下の手順で行われる。 104と39の最大公約数を求める場合を例にしているが、小さい方で大きい方を割り、余り（26）を求める。 次に、さっき割るのに使った数を、さっきの余りで割る。これを余りが0になるまで繰返し、最後に割る
おもしろ数学講座
かんたんユークリッドの互除法 さて、ユークリッドとは実在する人物の名前ですが、ユークリッドの生涯については、詳しいことはほとんど分かっていません。紀元前３３０年に生まれて紀元前２７５年に死んだという説や、紀元前３６５年に生まれたという説などまちまちです。いずれにしても紀元前約３００年頃の人であろうということくらいは分かっています。彼は当時のエジプトの王であったプトレマイオスの招きに応じてアレクサンドリアに行き、そこで教授、著作、研究に専念したそうです。彼はそこで当時までに知られていたあらゆる数学のデータ収集をし、再検討を加えて整理しました。これが現在の数学でも絶大なる力を持っている『原論』という大著となりました。当時も数学の教科書として使用されていたようで、これに纏わる有名なエピソードがあります。 『原論』を教科書としてユークリッドから幾何学を学んでいたプトレマイオス王が、『幾何学をもっと
【標準】ユークリッドの互除法の原理 | なかけんの数学ノート
自然数 $a,b$ に対し、 a を b で割ったときの商を q 、余りを $r \ (\ne 0)$ とする。 このとき、「a と b の最大公約数」は、「 b と r の最大公約数」に等しい。 $a,b$ の最大公約数を G 、 $b,r$ の最大公約数を g とおく。 条件より、 $a=bq+r$ が成り立つ。右辺は g で割り切れるので、 a も g で割り切れる。よって、$a,b$ は g で割り切れる。この2つの公約数の最大のものが G なので、\[ G\geqq g \ \cdots (1) \]が成り立つ $a=bq+r$ から、 $a-bq=r$ も成り立つ。左辺は G で割り切れるので、 r も G で割り切れる。よって、 $b,r$ は G で割り切れる。この2つの公約数の最大のものが g なので、\[ g\geqq G \ \cdots (2) \]が成り立つ (1
２進数小数を求めるときに２で掛けると求められるその理由について - Heppoko Binbo Yarou no Newbie Nikki
地味にハマったので解説する。 まず２進数小数ではなくて、２進数整数を求めるときに、２で割って余りがどうとかするやつについて。 たとえば456という１０進数の数字があって｛→以下456(10)と書く｝、 これを２進数に変換したいとき、 456 ÷ 2 = 228 … 0 228 ÷ 2 = 114 … 0 114 ÷ 2 = 57 … 0 57 ÷ 2 = 28 … 1 28 ÷ 2 = 14 … 0 14 ÷ 2 = 7 … 0 7 ÷ 2 = 3 … 1 3 ÷ 2 = 1 … 1 だから下から順にとって、456(10)は２進数では111001000(2)というやつだ。 やり方は書いてあっても、なんでそうなるのっていうのは本にはなかなか書かれていない。 情報系の話ではこういった「やり方」の話はよく出てくることだけど、 「なんでそうなるの？」とか証明の話は、割とないがしろにされている気が
自然数の二乗和の公式を導出
(08/04)不況の象徴と財源負担の無いドル建て日本国債 (07/26)2010年5月現在の日本と中国の米国債保有状況 (07/24)選挙制度で負けた民主党 (07/21)2010年5月の日米欧中マネーストック最新状況 (07/19)2010年5月の日米欧中マネタリーベース最新状況 (07/15)長い休養でした…… (03/25)脱官僚 (03/24)亀井大臣の意図はこうだ！ (03/23)日本で一番理にそぐわないことをする政党 (03/19)今年度は引継ぎが大変 ☆過去の記事一覧☆ RSA暗号とは①～素数判定の処理～ by karene (12/30) 2009年12月の日米欧中マネタリーベース最新状況 by chalodel (12/30) 消費者物価指数を巡るあれこれ by greoth (12/30) 2009年12月の日米欧中マネタリーベース最新状況 by glylemo (12
微分方程式の講義ノートPDF。例題と解答付き （常微分方程式の初歩的な解き方を勉強） - 主に言語とシステム開発に関して
講義ノートの目次へ 微分方程式の基礎を学ぶための講義ノートPDF。 独学に使えるオンライン教科書を集めた。院試対策の演習問題と解答もある。 微分方程式は，大学１年で必ず押さえておこう。 そうしないとあちこちで（ほとんど全分野で！）つまづいてしまう。 物理や工学の他にも，化学反応，生き物の個体数，価格の変動…などなど， 「数式で動きをモデリング」する時に何にでも使う。早いうちにマスターしよう。 とくに解が厳密に求められるケースでは， 解き方のパターンを一通り押さえておく必要がある。 求積法 →解を積分で表現 級数解 →解を無限和で表現 演算子法やラプラス変換 →代数的・記号的な操作 こういった基礎ができれば，次はもっと実用的な段階にステップアップできる： 難しい微分方程式の場合，コンピュータで数値的に シミュレーションして解を求める。 ルンゲ・クッタ法などのアルゴリズムを使う。 現実世界では
確率概念について説明する（第3-1回）：可能な世界の全体を1とする — コルモゴロフによる確率の定理（前編） - Take a Risk：林岳彦の研究メモ
こんにちは。林岳彦です。先日、小学生の息子とセブンイレブンに行きました。そこでふと、「あの外壁、あれ本物のレンガじゃなくてただの印刷だから」と息子に教えたところ、それが彼にとっては思いもよらぬことだったようで、実はすべすべとしている外壁に触っては「すっかり騙されてた！（ガーン）」と衝撃を受けていました。小さな子どもをお持ちのみなさま、この世の隠蔽された真実（＝セブンイレブンの外壁は印刷）を彼ら／彼女らに教えてみると面白い反応が期待できるかもですよ！ さて。 今回は、前回の記事の続きとして、確率という概念の「規格」について説明していきたいと思います。 （今回はとても長い上に内容がハードかもしれません。いつもながらすみません。。） 前回の軽いまとめ 前回の記事では： 少なくとも、「確率」とは「可能性を数値で表したもの」である というボンヤリとした出発点から： 「可能である」ということは、「この
CinderellaJapan - Cinderella入門
目 次 第０回 「シンデレラ」へのお誘い おはなし 第１回 線分の垂直二等分線 中学１年生の作図問題を題材に、作図ツールの使いかたを学ぶ 第２回 角の二等分線 同上 第３回 外心（自動証明） シンデレラの自動証明機能を使う 第４回 円周角から正弦定理へ 文字列を入力するボタン、関数ボタンの使い方など 第５回 モンキーハンティング 物理シミュレーションCindyLabを使う 第６回 関数のグラフ 作図ツールの中の関数機能を使う 第７回 媒介変数と曲線 曲線を媒介変数で表し、CindyScriptで表示する。 第８回 関数のグラフ CindyScriptを使う ここからCindyScriptを使ってCinderella.2の力が発揮されます。 第９回 インタラクティブにグラフを動かす CindyScriptを使って、インタラクティブに関数のグラフを動かします。 第10回 グラフ上の点を動かす
CinderellaJapan
現在の正式版は３.０版の Build 2087で2024年7月12日にアップロードされています。こちらにあります。 2024.3.11 「Cinderella はじめの一歩」をnoteに掲載 2019.3.5 ダウンロードについて，Linux（Ubuntu）の場合について詳解 2018.11.28 CindyScript基礎と応用 道具箱更新 2017.03.09 Tips集 を削除 2017.03.05 「CindyScript基礎と応用」サイトを新設。左のNavigation から行けます。 2017.03.01 GeoGebraユーザーのためのCinderella案内：「GeoGebraとCinderella」サイト新設。左のリンクから。 2017.02.02 高校数学のページ，オイラー線，三角関数の値の web版(CindyJS)へのリンクを更新。 2017.01.31 このペー
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数列の和 2 平方数の和
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