n⁵+5 と (n+1)⁵+5 の最大公約数 - 現実と数学の区別が付かない
Twitterで見かけた答えが意外過ぎる問題． 多項式の公約数と言えば、昔どこかに投稿したんだけど、nが自然数の時の n^5+5 と (n+1)^5+5 の正の公約数としてあり得る整数が、おそらく見た目からは予想できない結果で、面白い。— nishimura (@icqk3) 2020年8月10日 自然数 の最大公約数 (greatest common divisor) を で表します． を自然数とする． を求めよ． この手の問題は，小さい で試してみるのが常套手段です． くらいまで試してみると，すべて となります．その後， を 1万，10万と増やしていっても，ずっと gcd は のままです．こうなると，はいはいパターン見えてきたよと であると予想を立て，数学的帰納法で証明しようという気になります．しかしこれはうまくいきません．実は のときは なのに， で急に\begin{align}\m
隣接行列の一般化とトロピカル演算の正体 - 現実と数学の区別が付かない
最近話題になったこの記事。 qiita.com この記事は主に次の事実を扱ったものです。 有向グラフの辺の重みを並べた行列のトロピカルな 乗の第 -成分は， 番目の頂点から 番目の頂点への道のうち，最小の重みを持つものの重みに等しいという話です。 ここで，トロピカル演算は次のように定義されるものです。 トロピカル加法 トロピカル乗法 トロピカル加法の単位元 この話を聞いて，似た話を知っていると思った人もいたのではないでしょうか。それは次の定理です。 有向グラフの隣接行列の 乗の第 -成分は， 番目の頂点から 番目の頂点への道の数に等しい。 辺の重みを並べた行列は，隣接行列に見た目がよく似ています。 この2つの似た事実は成り立つ理由もよく似ていますが，隣接行列をうまく一般化するとこの2つの事実を同時に示すことができるというのが今日のお話です。この話を通して，トロピカル演算の正体が見えてきます
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