コンパクトな台 [−1, 1] を持つ滑らかな関数の例。 数学における、ある函数の台（だい、英: support）とは、その函数の値が 0 とならない点からなる集合、あるいはそのような集合の閉包のことを言う[1]。この概念は、解析学において特に幅広く用いられている。また、何らかの意味で有界な台を備える函数は、様々な種類の双対に関する理論において主要な役割を担っている。 定義[編集] 与えられた集合 X 上の函数 f が、Y(⊂ X) に台を持つ (supported in) とは、その函数 f が Y の外側 X ∖ Y で常に消えていることを言う。このとき、Y を部分集合として含む任意の集合（Y の拡大集合）Z に対して f は Z に台を持つことになるのは明らかであるから、函数 f の台 supp(f) は、f が台を持つような X の部分集合全ての交わりとして定義される。即ち、集合論

数学の分野で、ある可測な位相空間 (X, Borel(X)) 上の測度 μ の台（だい、英: support）とは、その空間 X のどこでその測度が「生きている」かということに関する厳密な概念である。しばしば位相的台（topological support）やスペクトル（spectrum）と呼ばれることもある。そのような台は、すべての点のすべての近傍が正の測度を持つような、X の最大の（閉）部分集合で定義される。 動機[編集] ある可測空間 (X, Σ) 上の（非負の）測度 μ は実際、函数 μ : Σ → [0, +∞] と表すことが出来る。したがって、通常の台の定義に従えば、μ の台は次のような σ-代数 Σ の部分集合となる。 しかし、この定義にはいくらか不十分な点がある。実際、Σ 上の位相すら与えられていないのである。今我々が本当に知りたいことは、空間 X 内のどこにおいて測度 μ

この記事は 明日話したくなる数学豆知識アドベントカレンダー の 6日目の記事です。（5日目：素数のスモールギャップについての研究がさらに進んでいたらしい ） 数学者の言う事は何かと訳のわからんものだ．というのもまず単語の意味が分からない．Wikipediaの適当な数学のページを見ても「超関数」だとか「2階線形偏微分方程式」だとか「グロタンディーク宇宙」とかおよそ大学数学に触れなかった人間は生まれて初めて聞くであろう言葉が続々と現れる．「暗記物が苦手だから数学が好き」という人がよくいるが，一方でこんな見るからに難しい単語の意味は憶えていたりする．暗記物が苦手と言うよりかは興味の問題であろう． この手の数学用語の中で，私が一番好きな単語が「ほとんどいたるところ」である．似た系統の専門用語として「ほとんど確実に」とか「ほとんどすべての」がある．つまり数学者は「ほとんど」という語を特別な意味で使っ

ルベーグ積分について調べていると、ルベーグ積分はリーマン積分より優れているという文面をよく見かける。これは恐らく事実なのだが、それを知るには両者を様々な観点から比較してみる必要があるだろう。 そこで、本稿では特に基本的な2つの観点、すなわち、積分可能条件と項別積分可能条件について両者を比較し、ルベーグ積分がいかに優れているかを味わってみようと思う。 積分可能条件 リーマン積分可能条件について学部の解析学の講義で習うのは以下のような事実であろう。すなわち、関数fの上ダルブー和と下ダルブー和の極限が一致するときfは積分可能と言い、その極限がfの積分となるのである[2]。これを一歩推し進めると、以下の定理が成立する[1]。 リーマン積分可能条件 有界関数について次が成立する： fがリーマン積分可能であるための必要十分条件は, fがほとんど至るところで連続となることである。そしてこのときfはルベー

今日はとても寒く、秋らしい天気だ。一般に秋になると、「〇〇の秋」という言葉を聞くけれども、〇〇に好きな言葉を入れれば秋らしくなるので不思議である。 さて、趣味のTwitterを眺めていると、測度論がわからないというツイートを見た。私は一応測度論のTAをやっているので、今回は測度論をざっくりわかりやすくまとめることにした。測度論は解析系や統計系では必須の道具である。私は解析系の人間なので、今回はルベーグ積分の基本であるFubiniの定理や単調収束定理、ルベーグの収束定理、積分記号下での微分をゴールに解説をすることにした。 以下、この記事のメニューである。 ０．測度論の心 １．測度の定義 １-１．完全加法族 １-２．測度 １-３．測度空間 １-４．測度の性質 ２．ルベーグ積分の定義 ２-１．特性関数 ２-２．階段関数 ２-３．ルベーグ積分の定義 ２-４．リーマン積分とルベーグ積分との関係 ２-

この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注によって参照されておらず、情報源が不明瞭です。脚注を導入して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2023年8月） 数学の分野における積分変換（せきぶんへんかん、英: Integral transform）とは、次の形をとるような変換 T のことである： この積分変換の入力は関数 f であり、出力は関数 Tf である。積分変換は作用素の一種である。 多くの便利な積分変換が存在する。個々の積分変換は、その変換の核関数 (kernel function) あるいは核 (kernel, nucleus) と呼ばれる二変数関数 K を定めれば決まる。また、積分区間は，核によって適当に定められる。 いくつかの核関数には逆 K−1(u, t) が存在し、それは（大まかに言えば）次のような逆変換を満たす: このような公式は反転公式と呼ばれる。

２．正定値カーネルと再生核ヒルベルト空間 正定値カーネルによるデータ解析 － カーネル法の基礎と展開 － 福水健次 統計数理研究所／総合研究大学院大学 統計数理研究所 公開講座 2011年1月13,14日 1 概要 • 正定値カーネル 定義と例 • 再生核ヒルベルト空間と正定値カーネル 再生核ヒルベルト空間の定義 正定値カーネルとの関係（Moore-Aronszajn theorem） 特徴写像 • 正定値カーネルとRKHSの基本的性質 正定値カーネルの性質 再生核ヒルベルト空間の性質 Bochnerの定理 2 概要 • 正定値カーネル 定義と例 • 再生核ヒルベルト空間と正定値カーネル 再生核ヒルベルト空間の定義 正定値カーネルとの関係（Moore-Aronszajn theorem） 特徴写像 • 正定値カーネルとRKHSの基本的性質 正定値カーネルの性質 再生核ヒルベルト空間の性質

テンソルは難しい 理系の学部出身者であれば、テンソルという言葉を一度は聞いたことがあるだろう。そして、数学やら物理の専門に進むのでなければ、その意味の分からなさに絶望し、理解を放棄した経験があるという人は少なくないのではないかと推察する。少なくとも、私はそうだった。 テンソルはなぜ難しいのだろうか？自分の経験に加えて、たまたま見つけた記事[1]を見て思ったのは、まず第一に定義が複数あり、それらの間のつながりが分かりづらいということである。加えて、テンソルのみを解説した書籍というのが少ないように思う。どうもテンソルというのはあくまで何かをするための道具という扱いであり、それだけを単独で解説するということがあまり行われていないようである。 そこで本稿では、私がテンソルについて個人的に分からないと思っているポイントを挙げ、それらについて順次理解を深めていこうと思う。 テンソルに関する疑問 まず、

1 カーネル法の理論 福水 健次 (統計数理研究所） 2006年7月6~7日 公開講座「カーネル法の最前線 ― SVM, 非線形データ解析, 構造化データ ―」 2 ４．カーネル法の理論的基礎 � このセクションの目的 正定値性を保つ演算と正定値性の証明 無限次元の問題を有限次元へ還元： Representer定理 正定値カーネルの固有展開表現： Mercerの定理 Rm上の正定値カーネルの特徴づけ： Bochnerの定理 3 正定値カーネルの導出 � カーネル法 関数空間でのデータ解析 関数空間を陽に与えるのでなく、正定値カーネルを与えることが多い � 正定値カーネルの定義法 正定値性の判定法は？ ある正定値カーネルから、新たな正定値カーネルを導出する方法は？ データの構造に即したカーネル Æ 赤穂、松井 4 正定値性を保つ演算 � 復習（正定値カーネル） (1) k(x, y) = k

こんにちは。 この記事は、皆さんサポートベクトルマシン(SVM)でお馴染みであろう Reproducing Kernel Hilbert Space (再生核ヒルベルト空間) : (以下RKHS) に関するただの個人的なメモです。 動機は、非常に重用なMercerの定理の証明がウェブ上で簡単に見つからなかったために色々調べてたものを整理する事です。 個人的に、RKHS周りの数理を整理しておきたかった、と言うのもあります。 ※一応、ヒルベルト空間とその有界作用素の定義ぐらい知っていれば読めるようにリファレンスはなるべく付けてありますが、どう考えてもself-containedな記事ではありません。 §1. RHKSの定義とカーネルの関係 を任意の空でない集合とします。 定義(Reproducing Kernel Hilbert Space) 上の関数から成る実ヒルベルト空間 が 上のRepr