ベルンシュタインの定理 - Wikipedia
ベルンシュタインの定理（ベルンシュタインのていり、カントール＝ベルンシュタイン＝シュレーダーの定理、シュレーダー＝ベルンシュタインの定理、カントール＝ベルンシュタインの定理とも、英: Schröder–Bernstein theorem）とは、集合 A から集合 B に単射 があり、集合 B から集合 A へも単射があれば、集合 A から集合 B への全単射があるというものである。濃度においては、これは |A| ≤ |B| かつ |B| ≤ |A| ならば |A| = |B| である、ということを言っているわけで、非常に基本的な要請がこの定理によって満たされることになる。 数学ではよくあることだが、この定理は歴史的に込み入った事情を経て成立しており、歴史的経緯を正確に反映した名前を決めるのは難しい。伝統的によく用いられていた「シュレーダー＝ベルンシュタイン」は1898年に独立に公刊された2
集合論雑記
トップページに戻る 日記の目次 最新の日記 谷山浩子さんのページ ご意見はこちらへどうぞ [2006年12月11日] Ver1.1 Generic拡大の基本定理の証明追加。 [2006年6月7日] Ver1.0 集合論雑記の強制法に関する部分はPDFファイルにまとめました。2006年5月3日版の誤り等を修正しました。 詳細に関しては2006年6月8日の記事 を参照して下さい。 (2006年6月19日) 16ページの「反映の原理」の説明で「公理」と記述すべ き部分が「論理式」となっていたのを修正。 http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.1.pdf http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.1.tex [目次]
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位相空間 - Wikipedia
数学における位相空間（いそうくうかん、英語: topological space）とは、集合Xに位相（topology）と呼ばれる構造を付け加えたもので、この構造はX上に収束性の概念を定義するのに必要十分なものである[注 1]。 位相空間の諸性質を研究する数学の分野を位相空間論と呼ぶ。 位相空間は、前述のように集合に「位相」という構造を付け加えたもので、この構造により、例えば以下の概念が定義可能となる 部分集合の内部、外部、境界 点の近傍 収束性[注 1] 開集合、閉集合、閉包 実はこれらの概念はいわば「同値」で、これらの概念のうちいずれか一つを定式化すれば、残りの概念はそこから定義できる事が知られている。したがって集合上の位相構造は、これらのうちいずれか１つを定式化する事により定義できる。そこで学部レベルの多くの教科書では、数学的に扱いやすい開集合の概念をもとに位相構造を定義するものが多
数学:集合論と選択公理
Shinji Kono @shinji_kono 特に数学だけど、今の集合論偏重は良くない。選択公理は記号論理的要求だけど、それなしでもかなりのことが出来るわけだから、無しで早めに教えられることは多い。εδに関しても、それが必要な精密な議論の前に出来ることが沢山ある。 Shinji Kono @shinji_kono 中学の頃に「円の接線は直径に直交する」ってので「接線って何?」ってのが問題になって「円上の二点を通る直線の二点を近づける」ってのを教える時間があったり、物理教師がΔxを躊躇なく、εδ抜きで教えるって方が絶対良い。それを妨げているのが指導要項。
カントールの対角線論法 - Wikipedia
カントールの対角線論法（カントールのたいかくせんろんぽう、英: Cantor's diagonal argument）は、数学における証明テクニック（背理法）の一つ。1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文[1]の中で用いられたのが最初だとされている。 その後対角線論法は、数学基礎論や計算機科学において写像やアルゴリズム等が存在しないことを示す為の代表的な手法の一つとなり、例えばゲーデルの不完全性定理、停止性問題の決定不能性、時間階層定理といった重要な定理の証明で使われている。 対角線論法とは、以下の補題を使って定理を証明する背理法のことである。 を集合とし、をのべき集合とする。さらにをからへの写像とする。の部分集合をにより定義すると、となるは存在しない。 上の補題は以下のように示せる。となるが存在すると仮定したうえでがの元であるか否かを考える。もしが
有限加法族 - Wikipedia
数学において、有限加法族（ゆうげんかほうぞく、finitely additive class）あるいは集合体（しゅうごうたい、field of sets）、集合代数（しゅうごうだいすう、英: algebra of sets, algebra over a set）とは、冪集合が集合演算について成すブール代数の部分代数のことである。つまり、集合 S 上の有限加法族 (S, F ⊂ 2S) は、F の任意の二つの集合 A, B の結び A ∪ B, 交わり A ∩ B および任意の集合 M の全体集合 S に対する補集合 Mc = S − M を取る操作について閉じている。有限加法族は任意のブール代数を表現することができるという意味においてブール代数の表現論にとって本質的な対象である。S 上の集合体 (S, F) に対して、S の元を集合体の点、F の元を集合体の複体（complex; 叢）と
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The Banach-Tarski Paradox