背理法被害者の会
「矛盾」の定義が高校の教科書のどこを探しても書いて無いことに気付きました。 これでは、「導かれる」(構文論)と「正しい」 (意味論)が区別できなくなって、背理法の中間結果もすべて正しく、自分は証明中の数学的内容もすべて解っていると思い込む人が多いのも仕方がないことです。 「矛盾」とは、ある命題Pに対して、「Pかつ￢P」という合成命題のことです。 よって、命題「A」の背理法の証明とは、 (公理や定義等の大前提と)「￢A」を前提として、 いくつかの(形式的)推論を重ねて、 「P」と「￢P」(または「Pかつ￢P」)を導き(構文論)、 矛盾を宣言する。 これで、[背理法の原理]により、命題「A」が定理であると保障される。 このときの、「Pかつ￢P」は恒偽命題です。 一方、直接証明では「導かれる」ものは「正しい」のですが、 これが背理法の証明中でも通用すると思っている人は、 × 「P」と「￢P」が共
クラスありの拡張言語が生の集合論と証明能力が変わらない
数学基礎論の話です。 集合論の公理系ZFCでは、良く知られているように「全ての集合の集まり」のような《大きすぎる》集まりを考えることは出来ません。そこで、このような集まりを クラス という形で導入し、扱えるようにした公理系が存在します。そのうちの一つがNBG(von Neumann–Bernays–Gödelの公理系)です。《集合に関する命題》を考える限りでは、ZFCとNBGでは証明できる命題が変わらないという事実が知られています。その事実の証明の概略です。
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ヒュームの原理 - Wikipedia
ヒュームの原理（Hume's Principle、HPと略称される）とは、数Fsと数Gsの間に一対一対応（全単射）があるとき、FsとGsは等しいとする原理。ジョージ・ブーロス(George Boolos)によって命名された。ヒュームの原理は二階述語論理の考え方に沿って定式化できる。 ヒュームの原理はゴットロープ・フレーゲの数学の哲学において中心的役割を果たしている。フレーゲによれば、この原理およびそれに適合して定義された算術概念をもとにして、今日では二階算術(second-order arithmetic)と呼ばれているもののすべての公理が論理的必然として導かれることが証明される。このことの帰結がフレーゲの定理の名で知られるものであり、新論理主義の名で知られる数学の哲学を基礎づけている。 ヒュームの原理は、フレーゲの『算術の基礎』において、デイヴィッド・ヒュームの『人間本性論』第1巻第3部
チューリングを受け継ぐ 星野力著
コンピュータによって計算できることとできないこと。計算とはいったい何かという問いは、「人間は機械なのか」という問いにつながっている。世紀末になってやっとはじまった適応と遺伝による生命の計算にもチューリングの貢献は大きなものがあった。彼のはじめた問いと受け継がれなかった問いを手がかりにしながら、生命と死を考える。 まえがき 第1章 チューリング・テストというゲーム 機械生命を査問する 批判と反論 チューリング・テストの初心と現代的意味 第2章 人工知能・人工生命の夢 人工知能事始め ドレイファス批判 フレーム問題 記号着地とニューラルネット チューリングのニューラルネット 進化する機械は生命に至るか？ ロボット脳の進化計算 人工生命 第3章 チューリング・マシンは全能ではない コンピュータの出現 数学の危機 チューリング・マシン 計算できないものとは何か？ 超自然数の世界 計算不能から計算可
モデル理論 - Wikipedia
この項目では、数学の領域について説明しています。数学および科学の他の分野における非形式的な概念については「数理モデル」をご覧ください。 モデル理論（もでるりろん、英 : Model theory）は、数理論理学による手法を用いて数学的構造（例えば、群、体、グラフ、集合論の宇宙）を研究（分類）する数学の分野である。 モデル理論における研究対象は、形式言語の文に意味を与える構造（英語版）としてのモデルである。もし言語のモデルがある特定の文（英語版）または理論（英語版）（特定の条件を満足する文の集合）を満足するならば、それはその文または理論のモデルと呼ばれる。 モデル理論は代数および普遍代数と関係が深い。 この記事では、無限構造の有限一階モデル理論に焦点を絞っている。有限構造を対象とする有限モデル理論は、扱っている問題および用いている技術の両方の面で、無限構造の研究とは大きく異なるものとなってい
直観主義論理 - Wikipedia
直観主義論理（ちょっかんしゅぎろんり、英: intuitionistic logic）または直観論理（ちょっかんろんり）、あるいは構成的論理（こうせいてきろんり、英: constructive logic）とは、ある種の論理体系であり、伝統的な真理値の概念が構成的証明の概念に置き換わっている点で古典論理とは異なる。例えば古典論理では、全ての論理式に真か偽の真理値 ( ) が割り当てられる。このときその真理値に対する直接的なエビデンスを持つか否かは問題にしない。これはどのような曖昧な命題においても「真か偽かが決定可能である」ということを意味する。対照的に、直観主義論理では確定的に論理式に真理値を割り当てるのではなく、それが真であるとは「直接的なエビデンス」つまり「証明」があることと見做す。 証明論的な視点から見ると、直観主義論理は古典論理の制限であって排中律や二重否定除去が公理として許容され
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直観主義 (数学の哲学) - Wikipedia
数学の哲学において、直観主義（ちょっかんしゅぎ、英: Intuitionism）とは、数学の基礎を数学者の直観におく立場のことを指す。 これに類する主張は、カントールの集合論に対抗する形でクロネッカーやポアンカレによってもなされていたが、最も明確に表明したのはオランダの位相幾何学者ブラウワーである。ブラウワーの立場に対してポアンカレらの立場は前直観主義と言われることがある。ブラウワーは、数学的概念とは数学者の精神の産物であり、その存在はその構成によって示されるべきだという立場から、無限集合において背理法によって非存在の矛盾から存在を示す証明を認めなかった。それゆえ、無限集合において「排中律」、すなわちある命題は真であるか偽であるかのどちらかであるという推論法則を捨てるべきだと主張し、ヒルベルトとの間に有名な論争を引き起こした。 ヒルベルトの形式主義は、直接的にはブラウワーからの批判的主張に
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形式主義 (数学) - Wikipedia
この記事は英語から大ざっぱに翻訳されたものであり、場合によっては不慣れな翻訳者や機械翻訳によって翻訳されたものかもしれません。 翻訳を改善してくださる方を募集しています。 数学における形式主義（英: formalism）とは、数学における命題を少数の記号によって表し、証明において使われる推論を純粋に記号の操作と捉える考え方のことを指す。 形式主義の最も原理的な見方では、数学は決められたルール（公理と推論法則）に従って行われるゲームであり、ルールを取り替えることによってできる異なるゲームは、それぞれ同等である。 形式主義は、ダフィット・ヒルベルトによって主張された。その目的は数学をゲームと考えることによって、数学的実在に直接関わることなく、数学の無矛盾性を証明するためであった。（ヒルベルト・プログラム）上記の点から、ヒルベルトの形式主義は、ブルバキの公理論とは異なるものである。 形式主義によ
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論理主義 (数学) - Wikipedia
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数学基礎論 - Wikipedia
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Workshop on Reverse Mathematics and Type Theory
日本数学会 数学基礎論および歴史分科会