「組合せ」と言うくらいだから、その値は必ず整数になる。 つまり、組合せを計算する際の分子は必ず分母で割りきれるわけ。 これって、誰も言わないけど、かなり驚きのことだと思う。 例えば、10×9×8×7×6が5×4×3×2×1で割りきれるかって考えてみてほしいんだけど、計算しないですぐわかる? 直感的にはわからないじゃん。でもこれって、10C5の分子と分母だから、割りきれるわけですよ。 他にも、111×110×99×98×97×96×95が7×6×5×4×3×2×1で割れるとか、わからないでしょ。 これも、111C7の分子と分母だから割りきれるの。 すごさがわかったよね? もっとすごいのは、これが一般的に言えること。 すなわち、組合せnCrって、任意の整数nから下に連続するr個の整数を、r×r-1×…×2×1で割った値だけど、 こんな変な割り算が、自然数nとrがどんな値でも常に整数になるなんて
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