2.7. 数学的最適化: 関数の最小値を求める — Scipy lecture notes
2.7. 数学的最適化: 関数の最小値を求める¶ 著者: Gaël Varoquaux Mathematical optimization は関数の最小値 (あるいは最大値や零点) を数値的に探索する問題を扱います。この分野では関数は コスト関数 や 目的関数 あるいは エネルギー と呼ばれます。 ここではブラックボックス化された最適化手法としての scipy.optimize に焦点をあてます: 最適化する関数の数学的表現をあてにしません。表現を利用することで、より効率的にブラックボックス化しない最適化ができることは注意しておいて下さい。 参考 参考文献 数学的最適化はとても...数学的です。パフォーマンスが欲しい場合は、本を読むことは労力に見合います: Boyd と Vandenberghe による Convex Optimization (pdf がオンラインで無料で利用できます)。
20160319_すべての図形を分類した男
20160319_すべての図形を分類した男 1. 1958年、イギリス 2. 1人のフランス人幾何学者が フィールズ賞を受賞した 3. 業績は 「コボルディズム理論」 4. 議長のHeinz Hopfは 5. 「この理論ほどトポロジーに 影響を与えたものは数少ない」 6. と彼の業績を紹介した 7. 「トポロジーは死んだ」 という発言で知られ（※要出典） 8. アンチ・ブルバキズム を公言し 9. 後にカタストロフ理論を創始 10. Jean-Luc Godardにより 映画化されたその男の名は 11. René Thom（ルネ・トム） ※写真はwikipediaより 12. すべての図形を分類した男 2016.3.19 第6回プログラマのための数学勉強会LT @matsumoring 13. 乞うご期待！！ 14. お詫び すべての図形は言い過ぎ 正しくは （向きづけられた）コンパクトで
20160428_エキゾティック球面ナイト
20160428_エキゾティック球面ナイト 1. 悲しい噂を聞きました 2. 幾何学は人気がないらしい？ （真偽のほどは不明） 注1.講演者は数学科卒ですが、学年で幾何学専攻を希望したのは私1人でした 注2.整数論や素数は大変人気があるようです 注3.「代数トポロジーの光」という勢力は有力なようです 3. 幾何の面白さを広めるには 4. どうすれば… 5. そうだ！ 6. ロマンティック数学ナイトに 7. エキゾチック球面を投下しよう！ ※イラストはイメージです。 8. エキゾティック球面ナイト ～エキゾチック球面を作ろう～ H28.4.28 ロマンティック数学ナイト リング@matsumoring 9. エキゾチック球面って何？ 10. ジャパァーン！！ H.Go 11. ジャパァーン！！ H.Go 12. 微分が普通ではない球面のこと 13. 微分が普通でないとは？ 14. それを説明
ビジービーバー - Wikipedia
ビジービーバー（英：busy beaver）とは、計算可能性理論で扱われるある種のチューリングマシンである。この名称は「仕事人間」を意味する英語の慣用句に由来する。ビジービーバーは空のテープから処理を開始し、可能な限り走り続けるが、最終的には停止する。これは停止するチューリングマシンのクラスが消費し得る時間と領域（テープ）の長さの上限を与える。 ビジービーバー関数はこの上限を数値化するものであり、計算不能関数の一例でもある。この関数はいかなる計算可能関数よりも急速に増大するということを証明できる。ビジービーバー関数の概念は、ティボール・ラドー（英語版）による1962年の論文 "On Non-Computable Functions" の中で、「ビジービーバー・ゲーム」という名称で初めて導入された。 ビジービーバー・ゲーム[編集] ティボール・ラドーは、1962年の論文で以下のように「ビジー
スキューズ数 - Wikipedia
スキューズ数（スキューズすう、Skewes number）は、南アフリカの数学者スタンレー・スキューズが素数の個数に関する研究において用いた、極めて大きな数である。具体的には、x 以下の素数の個数 π(x) および 対数積分 li(x) について、 π(x) > li(x) を満たす最小の自然数 x の上界としてスキューズが与えた数を指すが、このような x 自体を指すこともある。2021年時点で、このような x は 1014 より大きく[1] 1.3983 × 10316 未満[2]であることが知られているが、正確な値は不明である。 歴史[編集] 素数定理によれば、π(x) は漸近的に li(x) に等しい。実際の値を比較すると、現実的に計算が実行可能な程度に x が小さいあいだは常に li(x) の方が大きいように見える。このことから、π(x) > li(x) となる x が存在するか、
グラハム数 - Wikipedia
ということである。これがグラハム問題である。グラハムの定理より、解の存在は確かだが、具体的な値は現在にいたるまで得られていない。 しかし、この関係がグラハム数以上の n について成り立つことがグラハム自身によって証明された。つまり、解はグラハム数以下である。 ただし、グラハムらは実際にはこの数を論文では発表しておらず、翌1971年にグラハム数より小さなグラハム問題の解の上限として、小グラハム数という数を発表した[2]。その後、マーティン・ガードナーが1977年にサイエンティフィック・アメリカンでグラハム数を紹介した[3]ことによってこの数は広く知られるようになった。 解の上限はのち2014年にミハイル・ラブロフらによってさらに小さい数が示された[4]。 一方、この問題の解の下限（つまりこの数より小さい数では成り立たないことを示した数）としては、グラハムとロスチャイルドは1971年の小グラハ
リー群 - Wikipedia
リー群（リーぐん、英語: Lie group）は、群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。 定義[編集] G を台集合とする実リー群とは、G には実数体上有限次元かつ可微分[注釈 1]な実多様体の構造が定められていて、G はまた群の構造を持ち、さらにその群の演算である乗法および逆元を取る操作が多様体としての G 上の写像として可微分であるもののことである[注釈 2]。このような構造が入っているという前提の下で、通常は「G はリー群である」というように台を表す記号を使ってリー群を表す。また、実数（実多様体）を複素数（複素多様体）にとりかえて複素リー群の概念が定まる。 圏論の言葉を使うとリー群の定義が簡潔になる：リー群とは可微分多様体の圏の群対象のことである。この圏論に基づく定義は重要で
高木曲線 - Wikipedia
高木曲線（たかぎきょくせん、Takagi curve）は、中点を再帰的に分割してできるフラクタル曲線の一種である。高木貞治が1903年の論文で「連続だが至る所で微分不可能な関数」（高木関数）として構成した。 形状が洋菓子ブラン・マンジェ（ブラマンジェ）に類似していることから、ブラマンジェ曲線（Blancmange curve）とも呼ばれる。また、高木曲線を一般化した高木‐ランズバーグ曲線（Takagi–Landsberg curve）という名前でも知られている。ドラム曲線（英語版）の一種でもある。 定義[編集] 高木関数は、単位区間 上で により定義される。ここで、 は により定義される三角波関数（triangle function）である。すなわち、 は x から最も近い整数までの距離を示す。 無限和で定義される は、すべての x に対し絶対収束する。しかし、結果としてできる曲線はフラク
Mizar - Wikipedia
自動証明検証システム Mizar（ミザー、ミザール）は、まったく厳密に形式的な形で数学的な定義や証明を記述するためのデータ記述言語（Mizar-言語）、実際にその言語で記述された証明の内容を検証することができる計算機プログラム（証明検証プログラム）、プログラムから参照して新たな証明の際に利用可能な定義と証明済みの定理からなるライブラリ (MML) の三者から構成される。 Mizar と同様の目的を持つプロジェクトに、ロバート・ボイヤーのQEDプロジェクトがある。 概要[編集] システムの開発は1973年にアンジェイ・トリブレッツによって始められ、システムの保守をポーランドのビアリストーク大学（英語版）、カナダのアルバータ大学、日本の信州大学で行っている。 Mizar-言語で記された証明文（以下、Mizar-論文）は普通のASCIIコードで書かれている。Mizar-言語は、数学の通常の言葉遣
5 中心極限定理と正規分布
なる関係を持つ。つまり確率変数 x は、確率変数 ui (i=1,…,n) の総和として表わせる。 19世紀末から20世紀初頭にかけて、ベルヌーイ試行の結果 ui のみでなく、ある弱い条件*さえ満たせば、どんな確率分布を持つ確率変数の和でも、同じ釣鐘型曲線（正規分布）に近づくことが数学的に証明された**。これが中心極限定理(central limit theorem) である。 ______ * 例えば、各確率変数が互いに統計的に独立であり、平均(期待値)と分散が有限な同一分布を持つ場合には、その和は正規分布に近づく(J. Lindeberg, 1922)。 これは、わかりやすい充分条件であるが、今日では、より抽象化された弱い仮定の下で成立することが知られている。 ** 最初に中心極限定理を数学的に証明に示したのは、Lyapunov(1901)であると言われている。
円周率ってランダム？ | スラド
nidak 曰く，"本家より。Lawrence Berkeley National Laboratoryの研究員とReed CollegeのAdvanced Computationセンターの彼の仲間によって、円周率の数字やその他の「ランダム」とされているコンスタントな値に対する偉大な一歩が踏み出された。さらに、n番目の円周率の数字をn-1番目の値を求めずとも計算できる簡単な方程式も発見されたようで、それを行うのに必要なコンピュータの処理能力も僅かですむとのこと。 関係はないが、Reed CollegeはSteve Jobsの通っていた大学（半期で退学した）で、施設内に原子炉があるちょっと凄い大学。"
ときわ台学/応用数学と応用物理，物性論の講義ノート（教材）
******* SINCE 2002 FEB ******* プライバシーポリシー 掲載の文書・記事・写真・図表などには著作権が存在します。無断転載を原則的に禁止します。 ただし、「ときわ台学 The 講義」内のすべてのページへリンクフリー です。（ 連絡不要です。） 当ホームページ記載の内容については正確であることに万全を期していますが、 すべてを保障するものではありません。 記載の情報に基づいて閲覧者が被ったいかなる損害も補償いたしません。 * ページビュー上位50位に入ったコンテンツのページビュー数の合計が多い科目の順位です。
有用な不等式 - nopu@wiki
関数の不等式を見たら → sup/inf を付けてみよう↑ ← 作用素ノルム示すときとか。 初等不等式 相加相乗平均 Sinc関数 [証明]は，図を描くとほぼ明らか。 と を比べる。 Cor. 以下の形でも覚えておくとよい。 これを用いて，難しいところにある sin を x で置き換えてしまうことができる。 三角関数を抑えこむ 平均値の定理 （適当な微分可能性のもとで） C∞級とかなら何回も適用してみても良いことあるかも。 Jordanの不等式 Dirichletの振動積分を評価するときに使う。 [証明]は，sinの符号が変わる90度前後で場合わけして，Sinc関数の不等式に持ち込む。 90~180度は ω=π-θ とおくと0~90度の式に変わる。 複素数列とかで使う。 複素積分の基本不等式 曲線Cの長さをLとし、C上で とする。 超関数論で出てくる。 |x|大のとき で，C∞級，また な
双曲線同士の交点計算 - yo-kunの日記
そういえば2次元平面上の二次曲線同士の交点計算ってどうやって解くのだろうと疑問に思った。 高校数学の範囲では といった楕円やといった双曲線など「綺麗な」ものしか習わなかったと思う。(いわゆる標準形) これは楕円であれば長軸短軸がＸＹ軸と一致するものだ。 そうでなければまず座標系に一次変換や平行移動を施して標準形に変形して考えたと思う。 しかし、より一般的な二次曲線の式はこうなる。 従って、一般的な二次曲線同士の交点を解析的に求めようとすれば、 例えばｙを消去してルートを削除することにより4次方程式を解かねばならず、非常に厄介だ。 で、調べてみたらこんなPDFを発見した。 http://www.mlab.im.dendai.ac.jp/~saitoh/CADCAM/080421P.pdf 簡単にまとめると以下のようになる。 2つの二次曲線をとすると ⇔ である。 ここでも二次曲線であるが、ゼ
ICA（独立成分分析）が面白い。
「詳解 独立成分分析」という本が大変面白い。 学問の面白さのひとつは様々な分野を結びつけること、ある対象にまったく違った角度から光を当てるところにあると思うのだが、その点ICAは実に多様な分野と関係していて興味深い。 本の構成も良い。「導入」の章で要点をがつんと述べているのがうまい。「数学的準備」が全体の半分くらいあるのだが、これも分かりやすくまとめられている。準備といってもICAとの関わりが所々述べられているので、読み応えがある。 この本を読んだせいで、「相関がある」という表現を安易に使えなくなった。日常会話ではあまり深く考えず「相関がある」「相関がない」と言ってしまうが、実は統計学では「相関」は明確に定義されている。二つの確率変数の間の共分散をそれぞれの標準偏差の積で割った値σ_{xy}/σ_{x}σ_{y}である。 つまり相関はあくまで二次の統計量であって、確率変数の間にはそれより高
リリース、障害情報などのサービスのお知らせ
最新の人気エントリーの配信
j次のブックマーク
k前のブックマーク
lあとで読む
eコメント一覧を開く
oページを開く
意外と深い「平均」の世界
https://cs.smu.ca/~dawson/images2.html
アレクサンダーの角つき球面（外側が球と同相にならない球面）
汎化性
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/probandstat/node1.html