先ず、背理法証明を考える: 定理 素数は無限に存在する。 証明(背理法) 定理が成立しないとすると,素数は有限個である。[背理法の仮定] それらの素数を p1,p2,・・・, pn とする。 このとき,q = (p1p2・・・pn)+1 を考えると, q は p1,p2,・・・, pn のどれでも割り切れない。 したがって,q を素数の積として表したとき, この積に現れる素数は p1,p2,・・・, pn のいずれとも異なる。 これは矛盾である。 したがって定理が証明された。 背理法だと、[背理法の仮定]から[矛盾]を導くまでの「背理法の主部」は、整合的に理解することは不可能です。これは直ぐに構成的な直接証明に直せます。 直接証明1 p_1, p_2, ・・・, p_n を相異なる n 個の素数とする。 q = (p_1p_2・・・p_n)+1 とおく。 p_1, p_2, ・・・,