圏論とプログラミング / Category Theory and Programmingシンポジウム「圏論的世界像からはじまる複合知の展望」＠慶応大学 (Jan 25, 2020) http://www.inter.ipc.i.u-tokyo.ac.jp/symposium.html 「圏論とプログラミング」発表スライドメモ - Qiita https://qiita.com/inamiy/items/9af1da1faec22cd968f0 Video: https://www.youtube.com/watch?v=Ua6NE48_-1s
「圏論とプログラミング」発表スライドメモ - Qiita
この記事は、先日の 2020年01月25日に慶応大学で開催されたシンポジウム「圏論的世界像からはじまる複合知の展望」の登壇資料を文字起こししたものです。 Slide: 圏論とプログラミング / Category Theory and Programming - Speaker Deck Video: 圏論とプログラミング / 稲見泰宏 - YouTube 皆さん、こんにちは。稲見 泰宏と申します。 本日は、この圏論シンポジウムという貴重な場でお話しさせていただくことをとても光栄に思います。 私の方からは、圏論とプログラミングに絡めた話について発表します。 それでは、どうぞよろしくお願いします。 まず簡単に自己紹介します。稲見泰宏といいます。 現在は、フリーランスのiOSアプリ開発者として活動しております。 ここに書いてあるのは、私の過去10年間のプログラミング経歴ですが、 PHPとJava
数学的帰納法によるプログラミングを修得するためにF-代数を攻略する - bitterharvest’s diary
４． F-代数 今回はあまり聞きなれてはいないと思われるF-代数( F-algebra )について学んでみよう。代数という名が示すとおり、これは、半群、モノイド、群、環などの代数を表現するための重要な役割を担っているが、それにもまして、数学的帰納法による再帰的表現において重要な役割を果たしてくれる。一般に、再帰的表現は、記述を平易化し、読みやすくしてくれ、さらには証明をしやすくしてくれるが、F-代数はその道具を与えてくれる。 それでは累計、フィボナッチ数(Fibonacci number)、素数などを例にあげながら、F-代数と数学的帰納法を活かしたプログラミングについて見ていこう。 ４．１ F-代数の定義 F-代数とは、圏\(\mathcal{C}\)とその上での自己関手\(F: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}\)に対して、\(\mathcal{C}
Comma category - Wikipedia
This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (March 2016) (Learn how and when to remove this template message) In mathematics, a comma category (a special case being a slice category) is a construction in category theory. It provides another way of looking at mo
随伴がなんなのか説明を試みる
V-alg-d（ZZ） @alg_d 随伴とはなにかというと、まあなんなのかよく分かりませんが、ここでは「与えられた関手 F: C→D の、逆向きの関手 G: D→C であってなんかいい感じのもの」だと考えます。 2017-01-08 04:18:51 V-alg-d（ZZ） @alg_d 逆向きを考えたいので、例えば「逆関手」みたいなのがあればまあそれが一番いいんですけど、そういうのはめったに無いわけで、そこでもうちょっと条件を弱くしたのが随伴なわけです。 2017-01-08 04:19:46
米田の補題と自然変換 | math_pdf
米田の補題と自然変換 ここでは自然変換を定義し、その上で米田の補題を証明していきます。 数学の色々な概念を導入することは避け、基本的な集合についての知識の範囲内で収まるように説明することを心がけています。 集合と写像 ここではまず圏について述べるために必要な集合と写像の言葉について復習します。 また、これらが圏や関手、自然変換の例を与えることを見ていきます。 様々な集合に関する操作において自然な同一視、自然な写像というものが出てきますが、これらが自然変換の例であるということを述べています。 具体的には写像の集合Homを取る操作や冪集合を取る操作、直積を取る操作などについて書いてあります。 pdf 公開日2018年7月11日 順序集合 ここでは順序集合について紹介しています。 順序集合というのは集合とその要素間の大小関係を抽象化したもので、例えば通常の整数全体の集合に通常の大小関係を定めたも
圏論 | 壱大整域
このページについて ※特に断らない限り、圏はlocally smallであると仮定しています。 ※上から順に読むことを想定しています。 ※定義が書いてない言葉があったりするので、その場合はnLabを見るなりしてください。 ※選択公理は特に断らず使います。 意見・質問・感想・誤字や数学的間違いの指摘などはTwitterまでお願いします。 ★お知らせ★ このページのPDFが紙の本になりました。↓のリンクから購入することができます。 全ての概念はKan拡張である: 第0章～第2章(Cauchy完備化は除く) 全ての概念はKan拡張であるII～豊穣圏論～: 第3章 2-category、豊穣圏 ■PDFの量が多すぎると思うので第0章～Kan拡張のPDF(kan_extension.pdf)までの内容を短くまとめたPDFを作りました⇒可能な限り最短でKan 拡張に到達する (2023-09-06更新
米田の補題 - Wikipedia
米田の補題（よねだのほだい、英: Yoneda lemma）とは、小さなhom集合をもつ圏 C について、共変あるいは反変hom関手 hom(A , _), hom(_, A) から集合値関手 F への自然変換と、値となる集合 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。「米田の補題」という名称は、米田信夫に因んでソーンダース・マックレーンにより名付けられた[1][2][3]。その主張は、マックレーンによれば、米田の仕事に早くから現れていたという[4]。ただし、エミリー・リール（英語版）によれば、この補題が初めて (明示的に) 論文に登場したのは Grothendieck (1960) である[5]。 米田の補題は、普遍性という概念の根幹に関わる重要な補題であり、また、圏論において「間違いなく最も重要な結果である」[6]「もしかしたら最も利用されているただ1つの結果かもし
自然変換 - Wikipedia
自然変換（しぜんへんかん、英: natural transformation）とは、数学における「自然な同型」という概念の定式化として生まれ、その後圏および関手とともに圏論の中核を構成した数学的な対象である。圏論において自然変換は「関手の間の射」[注 1]とも表現され、圏の構造の中で関手の像を別の関手の像へ変換させる対応として定義される。 関手 F, G : C → D の間の自然変換 τ : F ⇒ G は、よい条件を満たす C の各対象によってパラメータ付けられた射の族 {τx: Fx → Gx}x ∈ C によって構成される。逆に、C の各対象によってパラメータ付けられた族 {τx: Sx → Tx}x ∈ C が関手の間の自然変換を構成する場合[注 2]、射の族 {τx}x ∈ C は x で自然である (natural in x) とも表現される。 自然変換は圏や関手と並んで非常
随伴関手 - Wikipedia
数学の特に圏論における随伴（ずいはん、英: adjunction）とは、二つの関手の間の（ある種の双対的な）関係のことである（随伴関係にある関手を持つ関手もあれば、持たない関手もある）。直感的に言えば、二つの相互に関連する圏の間に認められる、弱い同値的な関係のことである。この関係を表す関手のペアを随伴関手と呼び、片方を左随伴、もう片方を右随伴と呼ぶ。随伴の概念・随伴関手のペアは数学に遍在し、最適化や効率に関する直観的概念を明らかにし、また、ある種の数学的問題の"解決法の最適化"を行う過程で見出される(代数における集合上の自由群の構成や、位相空間におけるStone–Čech compactification(英語版)の構成などがその例である。 圏 と の間の随伴とは、二つの関手 の対であって、圏 の任意の対象 X、圏 の任意の対象 Y に対して、集合の全単射 が存在して、これが X と Y
デカルト閉圏 - Wikipedia
圏論において、圏がデカルト閉（デカルトへい、英語: cartesian closed）であるとは、大雑把に言えば任意の二つの対象の直積上で定義される射が直積因子の一方で定義される射と自然に同一視できることである。デカルト閉な圏はラムダ計算の自然な設定ができるという点で数理論理学およびプログラミングの理論において特に重要である。デカルト閉圏の概念はモノイド圏に一般化される（モノイド閉圏を参照）。 定義[編集] 圏 C がデカルト閉であるとは、以下の三条件 C は終対象を持つ。 C の任意の二対象 X, Y に対し、C はそれらの直積 X × Y を対象に持つ。 C の任意の二対象 Y, Z に対し、C はそれらの冪対象 ZY を対象に持つ。 が全て満たされることをいう。上ふたつの条件は、組み合わせて「C の対象からなる任意の有限族（空でも構わない）に対し、それらの直積対象が C に存在する」
圏論の随伴をちゃんと抑えよう - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
[追記 date="後日"]日本語の表記として「抑える」より「押さえる」が正しい気がしてきたけど、このままにします。使い分けがさほど明確なわけじゃないし、「抑える」に「支配下に置く」ような雰囲気もあるので。[/追記] 「テキスト記法を図式順で書くか反図式順で書くか？」「ストリング図の上下左右方向をどうするか？」などの過剰なバラエティ（あるいは混乱）が、圏論の学習を困難にしている要因のひとつだろう、という話は何度も何度も何度も書きました。最近の記事を2つだけ挙げれば： 記法バイアスと記法独立な把握： 順序随伴を例として 双対や随伴に強くなるためのトレーニング 上下左右をきちんと区別しないと話がワヤクチャになる典型的な例に、随伴〈adjoint, adjunction〉の定義があります。僕も「どっちが右だっけ？」「域だっけ、余域だっけ？」「εって、単位？ それとも余単位？」とか、ねんじゅう迷っ
随伴は あらゆるところに 現れる - Corollaryは必然に。
この記事はCategory Theory Advent Calendar 2018の6日目の記事であることをお知らせします。7日目はmod_poppoさんの「アプリカティブ関手ってなに？モノイド圏との関係は？調べてみました！」です。 Φカフェ数学デーで行われている「『ベーシック圏論』をゆるく読む会」、通称「ゆる圏↻」。前回は第1章のまとめとして「圏・関手・自然変換」について書きました。 corollary2525.hatenablog.com 今回は第2章の随伴です。Saunders Mac Lane の教科書 Categories for the Working Mathematicianには次の標語が載っています : Adjoint functors arise everywhere.「随伴は あらゆるところに 現れる」と訳せば五七五ですね*1。あらゆるところに現れるのであれば随伴は重
Adjoint functors - Wikipedia
For the construction in field theory, see Adjunction (field theory). For the construction in topology, see Adjunction space. In mathematics, specifically category theory, adjunction is a relationship that two functors may exhibit, intuitively corresponding to a weak form of equivalence between two related categories. Two functors that stand in this relationship are known as adjoint functors, one b
圏論の極限を具体的に - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
小さい圏Cから集合圏Setへの関手 F:C→Set に限定して、その極限を具体的に扱います。具体的とは、極限を、（無限かも知れない）直積と条件絞り込みで実際に構成することを意味します。具体的構成の方針（精神）は、「錐〈すい〉集合関手の表現対象を作りましょう」です。 内容： 具体的に具体的に 関手の極限の復習 錐集合関手と関手の表現対象 錐の圏の終対象と錐集合関手の表現対象 プレ錐集合の表現集合 “頂点Xのプレ錐”と“Xから直積への写像” 1. セクション集合の定義 2. 直積集合の定義 3. 積と指数に関する分配法則 錐条件で絞り込む 例：スパンの極限 おわりに 具体的に具体的に 圏論における極限（とその双対である余極限）は重要な概念ですが、最初は実感が湧きにくいかも知れません。そこで、状況設定を限定する（一般性を犠牲にする）ことで、極限を手で触れる（感じがする）モノとして定義します。限定
Natural transformation - Wikipedia
"Natural operation" redirects here. For the natural sum and natural product on ordinals, see Ordinal arithmetic § Natural operations. This article is about natural transformations in category theory. For the natural competence of bacteria to take up foreign DNA, see Transformation (genetics). For other uses, see Transformation (mathematics) (disambiguation). In category theory, a branch of mathema
Functor - Wikipedia
This article is about the mathematical concept. For other uses, see Functor (disambiguation). "Functoriality" redirects here. For the Langlands functoriality conjecture in number theory, see Langlands program § Functoriality. In mathematics, specifically category theory, a functor is a mapping between categories. Functors were first considered in algebraic topology, where algebraic objects (such a
この世で一番簡単なデカルト閉圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
圏の指数の書き方は、含意記号「⊃」を使うことにします。 デカルト閉圏は、型付きラムダ計算や連言含意論理のモデルなので、いくらでも例を作れます。非自明で最も簡単な例は、二値の真偽値を圏とみなしたモノでしょう。この例はやたらに簡単なので、手作業で細部まで確認できます。つうか、細部がこれといってありません。「この世で一番簡単なデカルト閉圏」を具体的に定義してみましょう。 これから定義する圏をBとします。 |B| = {0, 1} B(0, 0) = {id0} B(1, 0) = {} B(0, 1) = {t} B(1, 1) = {id1} 恒等射と結合の定義は明らかです。0が始対象、1は終対象となっています。 対象の直積を次のように定義します。 0×0 = 0 1×0 = 0 0×1 = 0 1×1 = 1 この定義が、実際に圏論的な直積を与えることは、しらみ潰しで確認できます。「しらみ潰
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Representable functor - Wikipedia
Functor category - Wikipedia