ロー出し、ハイ受け ちょっと大きめの電子回路は,あるモジュールの出力を別のモジュールの入力へと繋いでやって,次々と信号を加工して望みの結果を得る構成になっている,という話をしたことがある.このときに注意すべきことについて話しておこう. 出力と入力の関係をごく単純化して表すと,次のようになっている. 二つのモジュールを繋いだ様子を表したものである.電源はこれとは別に要ることもあるし要らないこともあるのでこの図では省略されている.左側の抵抗は,信号を出力する側のモジュールの内部抵抗のようなものであり,「出力インピーダンス」と呼ばれる.これは単純な抵抗器ではなく,電流を妨げる様々な要因をひっくるめて抵抗の記号で表してみただけのことである.信号の周波数によって抵抗の大きさに違いが出たり,位相にずれが生じたりする場合もあるので,抵抗よりも広い意味を含む言葉を使った方がいい.それで「出力抵抗」ではなく

物理定数を全て 1 にするような単位系 私はもう何年も前に,物理定数が全て1になるような単位系を探そうという試みを記事にしたことがある.その中で,新しく導入した単位に「コスモメートル」や「コスモ時間」などというふざけた名前を付けて喜んでいたのだった. ところがこれと同じことはもう百年近く前にプランクによって行われており,「プランク単位系」という名前までが付いていたのだった.お恥ずかしいことに,私があの記事を書いたとき,そんなことはまだ知らなかったのである. しかし,知らずに同じことを試みたというのは誇らしかったりもするのだ. ただしプランクはプランク定数が1になる単位系ではなく,ディラック定数が1になるような単位系を探したようである.また,真空の誘電率を1にするのではなく,クーロン力の係数であるが1になるように設定したようである. このような微妙な違いがあるものの,やっていることはほぼ同じ

現実に起きていること 乾電池の寿命が残り少なくなってくると,電圧が下がる.そしてある程度以下に下がったところで,設計された通りには機械が動かなくなり,電池が切れたと判断する. しかし電池の起電力というのは,電池内の化学反応の種類によって決まるのであり,変わらないはずではなかっただろうか. これには幾つかの理由がある.電池の種類によっては化学反応が進むにつれて,元の反応が阻害されるなどして別種の反応が起こり始め,それによって起電力が変化してゆくことがある.そして,それ以外の理由としては・・・,それが今回の話のテーマなのだが・・・,反応する物質が少なくなったり,反応が阻害されたりすることで,徐々に電子を供給する能力が落ちて行き,回路の中に電位差を保っておくほどの電荷が維持できなくなる,というものもある. もし電池が汲み上げた電荷が少しも流れ去らなければ,電池の両端の「電位差」は電池の化学反応の

複素関数 微分の概念を複素数の範囲にまで拡張してやりたい.というか,さっさと微分の話をしたい.その為にはまず関数が必要だ.なぜ必要か？高校の範囲の数学では,変数が実数であるような関数を用意して,「をで微分する」というような表現をしたのだった.同じようなことをしたいのである.だからまず,関数を複素数の領域にまで拡張することから考えよう. 何も難しいことはない.複素数に対して複素数の範囲で値を返すような関数を考える.ただそれだけである.この関数のことを「複素関数」と呼ぶ.ここで変数をとは書かないでという記号で表しているのは,これが実数ではなく複素数であることを強調するためであって,色んな教科書がその書き方を採用している.本当はどんな記号で表わしてもいいのだが,と書かれたものを見ると「おそらくこれは複素関数の話をしてるのだろうな」と一目で想像が付くという利点がある.高校までに習った実数の範囲の関

級数の基本 数学の教科書ではないのだから,厳密さへの気配りはあまりしなくてもいいだろう.それよりも,この辺りの状況を素早く飲み込めることに力を注いでまとめたいと思う.おおよそ納得できる程度の軽い証明は入れていきたい. 早速始めよう.次のような形式で書かれる,無限の項から成る式を「級数」または「無限級数」と呼ぶ. 無限に足し合わせるのだから合計した値は無限になりそうなものだが,そうとは限らない.例えば次のようなものが分かりやすい. 図に表せば,この値が 1 に近付くのがはっきり理解できるだろう. このように,無限の項からなる和が,ある一定値に限りなく近付く場合があり,それを「級数が収束する」と表現する.もちろんこの説明は数学の立場から見ればかなり曖昧なものである. 前回の説明の中で調和級数というものを紹介したのを思い出してみてほしい.今の例と同じように,加えられる項は徐々に小さくなって行き,

定義など ラプラス変換は,フーリエ変換に似ている.他に説明する機会がないのでここでやっておこう.フーリエ変換ほど物理的なイメージは明確ではないが,式の形は似ている. 関数をラプラス変換するとになる.この関数のことを「関数のラプラス変換」と呼び,のように表記することもある.このというのはラプラス(Laplace)の頭文字だ. 参考までに書いておくと,フーリエ変換は次のようなものだった. （フーリエ変換には色々な流儀があって,これはその一例である.） ラプラス変換はフーリエ変換を拡張したものだと言う人もいるし,いや,ラプラス変換を拡張したものがフーリエ変換だと言う人もいるが,そんなことはあまり気にしなくても良いのではなかろうか.良く見ると色々な点で違っている. ラプラス変換は指数関数の部分に虚数が付いていない.ラプラス変換の式の積分範囲はに限られている. ラプラス変換ではの値は複素数の範囲で考

合成積の定義 合成積という概念があって,フーリエ変換に深い関わりを持っている.合成積の意味を自然に受け容れることのできるような導入方法を考えてはみたが,うまく行かなかった.これはとりあえず意味など考えずにそのまま受け入れてもらう方が効率が良いだろう. 意味は色々と後付けすることができるが,そのような意味のものがなぜここで使われるのか,と聞かれるとそれもまた困ってしまうのである.意味を見出そうとするのは暇な時で構わない. 合成積とは次のようなものである. 二つの関数とを組み合わせることで一つの関数を作り,その作られた関数の名前をと表す.上のような積分計算ではが変数として残るから,左辺はと書いてあるわけだ. では意味の区切りが分かりにくいのでのように表すこともある. このようなをとの「合成積」と呼ぶ.「畳み込み」「畳み込み積分」「コンボリューション」「重畳（ちょうじょう）積分」「接合積」と呼ば

二通りの質量 「質量」には二通りの定義が存在する.一つは「慣性質量」,もう一つは「重力質量」と呼ばれている. 「重力質量」というのは物体が重力によって引かれる力の強さを基にして定義される質量である.簡単に言えば,物を持ち上げるときに感じる「重さ」のことである.しかし物体の重さは他の星へ行くと重力の違いによって変わってしまうので,「重さ」という表現は学問的には問題がある.だから敢えて「質量」と呼ぶのである,ということは中学で習ったはずだ. もう一つの「慣性質量」とは,物体を押した時の加速度を基に定義される質量である.質量が大きいほど加速がつきにくい.日常でも車の加速が悪いときなどに「車体が重い」などという表現を使うだろう. これらは物理的には全く意味の異なる別々の概念であるが,偶然にも全く同じ値を持っている.いやもっと正確に言うと次のようになる.「どの物体について調べてもこの二つの意味の質量

電磁場の熱平衡 物質が熱放射を行っていることはかなり前から知られていたが,その正体が電磁波であることは電磁気学が完成に近付いてようやく明らかになったのである. もし物質が熱放射を行う一方だとすると,どんどんエネルギーを失って冷えてしまうだろう.いや,実際そういうことはあるのだ.天気予報などで「放射冷却現象」というのを時々聞くことがあるだろう.良く晴れて雲一つない日には,地表からの熱放射が何にも遮られることなく宇宙空間へ向けてどんどん逃げてしまうため,気温が急激に下がったりする. しかし断熱容器の中に置いた物体の温度が勝手にどんどん下がってしまうことはない.全てのエネルギーが電磁場に渡されるなんてことはなくて,およそ一定の温度に落ち着くのである.これは電磁場と物質の間に一方的でない熱のやり取りがあって,やがて熱平衡と呼べる状態に達するからであろう.すると,電磁場にも温度というものがあるに違い

どこを探せば載っているだろう ステファンボルツマンの法則というのはとても面白くてしかもかなり重要な法則なのではあるが,どの教科書にでも載っているというわけでもない.それには理由がある. この法則は,電磁気学の教科書に顔を出すこともあれば,熱力学の教科書で説明されることもあり,統計力学の教科書に登場することもある.しかも量子力学の発端に深く関係する話でもある.要するに,どの分野の教科書で責任を持って必ず触れておくべき話なのか,分担（？）がはっきりしていないのである. しかも各分野の基礎を説明する上で必要不可欠な知識というわけではなく,例題か応用問題扱いであることが多い.しかしこの話は各分野にまたがる重要な知識であり,物理学の発展史を語る上では欠かせないのである. 私もどのページで説明したものやらと迷ったのだが,色んな知識を前提とした方が面白く説明しやすいという理由で「統計力学」に入れることに

電気と磁気の性質から始めて、それぞれの関係を推理していき、最後はそのすべてを含んだマクスウェル方程式という形にまとめ上げるところまで説明します。その後はマクスウェル方程式を使って色々な現象を説明して行きます。

熱力学とは、気体に力を掛けたときに起こる変化の様子を熱の出入りと絡めて説明しようとする物理の一分野です。その議論の一部は液体や固体にまで広げることができます。

気体の分子運動論 容器に気体が入っている.この気体は分子と呼ばれる沢山の「つぶつぶ」から出来ているのだと考える.気体の「内部エネルギー」の正体は,この分子の運動エネルギーなのだと考える.（本当は分子間力の位置エネルギーも含めるべきだが,今しばらくは理想気体を考えることにする.）また,気体の圧力は分子が容器の壁にぶつかる時の運動量変化で説明できるのだと考える. これが「気体分子運動論」の基本的な考え方である.当時は非常に異端的な考え方であった.確かに現象の説明は出来るが決定的な証拠がない.アインシュタインがブラウン運動を理論的に説明するまでこれについて長い論争が続いていた.つまり,つい 100 年ほど前まで,この考えは完全には認められなかった.物理はそれほど厳しいのだ.しかし異端だと責められようが,考えてみることは自由だ. この分子集団の全運動エネルギーを求めるためには分子の速度を知る必要が

これを証明する為には,まず,(1) 式の左辺をと置いて,を計算してやる. これはグラフでいうと,第一象限全体の積分となっている.ここで,,という変数変換をしてやる.積分変数の座標変換をするときにはヤコビアンという行列式を使うのであるが,それは知っているものとして変形すると, これで証明終わり. これを証明するには,まず上で証明した (1) 式を眺め,その両辺にあるを変数であると考えて,で微分してやる.簡単に確かめられるので,計算過程を書くまでもないと思う. これを証明するには似た事を繰り返せばいい.まず上で証明した (2) 式を眺め,その両辺にあるを変数であると考えて,で微分してやる. これは,(1) (2) (3) 式と形は似ているが,同じ系列ではない.これを証明するために,まず次のような式は簡単に計算できるであろう. この式の両辺にあるを変数であると考えて,で微分してやれば (4) 式

統計力学とは何か 「統計力学」.何だかかっこいい響きだ.しかし,一体それが何なのか,イメージが湧かない.「確率・統計」の話と「力学」がどこで繋がるのだろうか？ まぁ簡単に言えば,この分野は「気体の分子運動論」から始まる.それぞれの分子の運動はデタラメに見えるが,数多くの分子の動きについて統計をとってやると,全体ではある規則に従っていることが見えてくる.そして身の回りにある色々な現象に現れているのは,ほとんどがこの「全体としての性質」なのだ. 我々は個々の分子の運動について考えようとしても考え切れないし,計算などとても出来るものではないわけだが,細かい部分には目をつぶって,全体としての性質さえ導き出せればそれで十分だと考えるのである. 私は統計力学を学び始めた時,確率的な考えに頼るなんて何だか曖昧でいい加減な学問だなぁと頼りなく思ったものだ.また,それは諦めとか妥協の産物じゃないのかと見下す

線積分のイメージ 高校の積分では積分範囲が数直線の上に乗っていた.何を言っているか分からないかも知れない.当たり前過ぎることというのは,言われてもピンと来ないものだ.つまり,1 変数の関数があって,そののグラフの曲線と軸とに挟まれた領域の面積を求めるというのが積分のイメージであった.定積分の積分範囲というのは,軸という直線の上のどこからどこまで,という形で指定されていたのだった.今からその常識を飛び出すことにしよう. 2 変数の関数というものを考える.この関数は土地の起伏を表しているようなイメージである.地図上の位置をで指定してやると,がその地点の標高を返してくれるのだと考えれば分かりやすい.関数名としてを使ったのは高さ(height)の頭文字だからである. これからこの関数を積分しよう.積分範囲は・・・,そうだな,「この平面の上を走る自由な曲線コース」！ 自由な曲線コースの上を進みながら

一変数関数の復習 高校の微積分では変数が一つだけの関数しか扱わないから,変数が増えた時にどんなことを考えたらいいのかを見ておく必要がある.まずは高校で習う 1 変数関数の微分についての復習から始めよう. 高校ではあまり話さないようなことを話すから復習でもないかも知れない. 関数というものを考える.の微分は変数を変化させたときのの変化の度合いを表しているのだった.グラフで言うと「傾き」である.だから変数を微小量だけ変化させると,およそだけ変化すると言える.式で書くと次のようになる. この式は,関数の変化量はに比例するという考えで作っているのだが,実際の関数のグラフは直線だとは限らないので,このような近似でしか表せないのである.が大きくなるほどこの近似は悪くなる. 逆に,が無限小に近付くほど,この近似は驚くほど正確になってゆく.無限小の極限を考えれば,イコールで結んでもいいくらいだ.無限小の変

偏微分の変換 偏微分を含んだ式の座標変換というのは物理でよく使う.この計算は微分演算子の変換の方法さえ分かっていればまるで問題ない. 例えばデカルト座標から極座標へ変換するときの偏微分の変換式は, となるのであるが,なぜそうなるのかというところまで理解できぬまま,そういうものなのだとごまかしながら公式集を頼りにしている人が結構いたりする.学生時分の私がそうであったし,最近,読者の方からもこれについての質問を受けたので今回の説明には需要があるに違いないと判断する. 以下ではこのような変換の導き方と,なぜそのように書けるのかという考え方を説明する.式だけ示されても困る人もいるだろうから,ついでに使い方も説明しておこう. 考え方 関数をで偏微分した量があるとする.これと全く同じ量を極座標だけを使って表したい. そのためにまずは,関数に含まれる変数,,のそれぞれに次の変換式を代入してやろう. そう

偏微分については力学のページで簡単な紹介をしただけだった.その時の説明は要するに,偏微分というのは,多変数関数の一つの変数だけに注目して行う微分であり,残りの変数についてはあたかも定数であるかのように考えてあとは普通の微分と同じように計算してやれば良いというものだった. 偏微分は電磁気学のページでも使われてきたが,それくらいの理解で今までのところ問題はなかったと思う. ところがこれから先はそうも言っていられない.今後の式変形に備えて,もう少しだけ詳しく説明しておいた方がいいだろう. なぜわざわざ普通の微分と違う記号を使って表されているのか,それは普通の微分と何が違って,どう使い分けたら良いのか,そもそもなぜそのような中途半端に思える計算法が許されて,物理法則を記述するために使えているのか,そういうことが気になっている人もいるだろう.そのようなことも明らかにしたい. 物理とはあまり関係のない

何に使うのか 今回の話は書くつもりは全くなかったのだが,第 4 部の「相対論的量子力学」を書いている途中で予備知識として必要を感じたのでここに入れることにした.多くの教科書でこの話が出てくるが,私はこれまでそれが一体何の役に立つのか理解できず,邪魔な話だなぁ,と読み飛ばしていただけだった. しかし,知っておいて無駄な話ではない.いや,難しい話ではないので,知らなければ当然知っておくべきだ. 存在確率の時間微分 波動関数の絶対値の 2 乗は粒子の存在確率の密度を表していて,それをある範囲で積分することで存在確率が導かれるのだった.積分範囲として,考えられる全空間を設定すると当然その値が 1 にならなければおかしい. 当たり前のことだが,この値は時間とともに変化されると困る.この式の左辺が本当に変化しないのかどうか,あるいはどのような条件で常にこの関係が成り立っているのかを確かめておきたい.時