アインシュタインの縮約表記 - 大人になってからの再学習
2つの2次元ベクトル があるとき、この2つのベクトルの内積は次のように表される。 ベクトルが3次元で であるときは、この2つのベクトルの内積は次のように表される。 書くのがめんどくさいね。 こんなの、毎回毎回書いていられないね。 和を表すΣの記号を使えば、次のように表すことができる。 少しは短くなった。でも、やっぱりΣ記号はめんどうだ。 毎回毎回、こんなの書いていられないね。 もう、こういう頻出する表現は、次のような簡単な表記方法にしちゃおうよ。 これでいいじゃん。 と言い出したのが、あの相対性理論を考え出したアインシュタイン。 なるほど、少しでも表記を簡単にして、より簡潔に物事の本質に迫ろうとしたわけだ。 これを「アインシュタインの縮約表記」と言う。 「添字が同じ場合は、その添字について和を取る」というルールになっている。 例えば nの値がいくつになるかは、そのときの文脈から判断する。
行列の分解（Matrix Decomposition） - 大人になってからの再学習
いろいろな場面で、ある行列を複数の行列の積の形に置き換えることが行われる。 これを行列の分解（Matrix Decomposition）と言って、これまでに様々な分解方法が考案されている。 なんのために行列を分解するのか？ 行列を分解することで、計算を速く行えるようになる、という実際的なメリットがあったり、その行列の性質がわかったりするから。 では、どのような分解方法があるのかを以下に紹介。 ■ LU分解 行列Aを行列Lと行列Uの積の形に分解する。 つまり、 のかたちにする。 Lは下三角行列 (lower triangularmatrix)で、Uは上三角行列 (upper triangular matrix) で、次のような感じになる。 このような形に分解できれば、 の形で表現される連立一次方程式を簡単に（高速に）解くことができる。 なので、上式は となって、とりあえず と置くと、 となる
動的計画法 - 大人になってからの再学習
アルゴリズムの学習をするなかで、「動的計画法」という用語が登場する。 よくある説明は、「ナップザック問題を解くのに使われる」とか、何か具体例を示して理解を促すものだけど、 そもそも動的計画法ってなに？ というところが、明確でなくて非常にわかりにくい。 わかりにくいのもそのはずで、そもそも動的計画法という名前のアルゴリズムや特定の手法があるわけではなくて、 動的計画法というのは、「考え方の名称」である。 「この問題は動的計画法で解きましょう」と言った時には、 「この問題は動的計画法的な考え方で解き方を別途考案しましょう」と読み替えるべき。 動的計画法は、あくまで「考え方」であるので、具体的な解き方（アルゴリズム）は、問題ごとにまったく異なるものになる。 繰り返しになるけど、動的計画法という名前のアルゴリズムがあるわけではない。 動的計画法の考え方とは ・大きな問題を小さな問題に分けて解く。
焼きなまし法 - 大人になってからの再学習
最適化問題を解くための探索アルゴリズムの1つに焼きなまし法というものがある。 最急降下法のように、値が小さくなる方向に少しずつ探索を進めていくアルゴリズムでは、その出発点に依存して局所最適解に陥ることが多い。 その結果として、大域的最適解が求まらないという問題がある。 この問題を解決して、最終的に大域的最適解が求まりやすくなるように改良したのが焼きなまし法。 考え方は単純で、「たまには解から遠ざかる方向にも進んでみよっか」というもの。 常に値が小さくなる方向ではなくて、たまには逆向きに進んでみると、もっとよい解が見つかるのではないか、と考える。 しかしながら、この「たまには」という言葉はあいまいすぎるので、確率pで、という具合に確率の話で説明する必要がある。 焼きなまし法では、この確率pは、値の変化量にも影響を受けるけど（解から大きく遠ざかる方向には、あまり行かないように確率pを小さくする
エルミート行列 - 大人になってからの再学習
キーワード：エルミート行列、自己随伴行列、線形代数、シャルル・エルミート エルミート行列とは何か？と言った時に次のように説明できる。 エルミート行列（自己随伴行列）→自分自身と随伴行列が等しい行列 随伴行列→転置行列の成分をすべて共役複素数に取り替えたもの 転置行列→行と列の要素を入れ替えたもの 共役複素数→虚部の符号を入れ替えたもの 以上をまとめると 「エルミート行列とは要素が複素数である行列で、行と列を入れ替えて各要素の虚部の符号を入れ替えたら自分自身に戻るもの」となる。 具体的には次のような感じ。「行と列を入れ替えて各要素の虚部の符号を入れ替える」という操作を実際に行って、もとに戻ることを確認してみよう。 エルミート行列には次のような性質がある。 ・正規行列である(逆行列がある) ・要素が実数のみであるとき対称行列となる ・固有値はすべて実数である ・異なる固有値の固有ベクトルは直交
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