動的計画法を実現する代数〜トロピカル演算でグラフの最短経路を計算する〜 - Qiita
トロピカル半環と呼ばれる代数構造上のトロピカル行列を利用すると動的計画法を使ってグラフの最短経路の距離を計算するという問題が単純な行列積で解けてしまうらしい。そんな噂12を聞きつけて我々はその謎を解き明かすべく南国（トロピカル）の奥地へと向かった。 トロピカルな世界に行くためにはまずは代数を知る必要がある。要するに群・環・体の話だ。しかしこの記事の目的は代数学入門ではないので詳しい話は他の記事3に譲るとし、さっそく半環という概念を導入する。それは 半環は以下の性質を満たす二つの二項演算、即ち加法（和）"$+$" と乗法（積）"$\cdot$" とを備えた集合$R$を言う $(R, +)$ は単位元 $0$ を持つ可換モノイドを成す: $(a + b) + c = a + (b + c)$ $0 + a = a + 0 = a$ $a + b = b + a$ $(R, \cdot)$ は単
線形代数を学ぶ理由 - Qiita
はじめに 少し前(2019年4月頃)に、「AI人材」という言葉がニュースを賑わせていました。「現在流行っているディープラーニングその他を使いこなせる人材」くらいの意味だと思いますが、こういうバズワードの例の漏れず、人によって意味が異なるようです。併せて「AI人材のために線形代数の教育をどうするか」ということも話題になっています。 線形代数という学問は、本来は極めて広く、かつ強力な分野ですが、とりあえずは「行列とベクトルの性質を調べる学問」と思っておけば良いです。理工系の大学生は、まず基礎解析とともに線形代数を学ぶと思います。そして、何に使うのかわからないまま「固有値」や「行列式」などの概念が出てきて、例えば試験で3行3列の行列の固有値、固有ベクトルを求め、4行4列の行列の行列式を求めたりしてイヤになって、そのまま身につかずに卒業してしまい、後で必要になって後悔する人が出てきたりします(例え
33は3つの立方数の和で表せるのか——64年来の数学上の難題が解かれる｜fabcross
ブリストル大学の数学者Andrew Booker氏が、33を3つの立方数の合計で表すこと、すなわち33＝x³＋y³＋z³という方程式の解を求めることに成功した。16桁（1000兆）という正と負の整数の組み合わせを効率的に探索できるアルゴリズムを開発し、（8,866,128,975,287,528）³＋（－8,778,405,442,862,239）³＋（－2,736,111,468,807,040）³＝33であることを明らかにした。 k＝x³＋y³＋z³の方程式を満たす3組の整数（x,y,z）を求めるという問題は、数学者たちを長年魅了し続けてきた。k=29のように解を容易に導き出せる場合や、9で除したときに4か5が余りとして残る整数、例えばk=32のように解が存在しないことが分かっている場合もあるが、大抵の場合において解は自明ではない。今のところ、解を発見する唯一の方法は、コンピューターを
アフィンスキームとは何だろうか(1) - tsujimotterのノートブック
数論の勉強をしていく中で、スキーム理論の言葉で書かれた文章をたびたび見かけるようになり、スキームの基礎的な事項について理解したいと思うようになりました。 代数幾何学の標準的な（？）教科書であるハーツホーン [文献1] などの本を読んで、基本的な部分についてはある程度理解してきた気がしているのですが、やはり自分の文章でまとめてみないとわかった気がしません。そこで、今まで理解した部分をブログでまとめてみようと思いました。 そこで今日は、スキーム理論の基本である「アフィンスキーム」について、解説を試みたいと思います。私の理解向上のためというのが目的なので、あくまで自分のために文章化し、それを人にも見てもらえるような場所に置いておくという程度のスタンスで書いています。「みんなにスキームについてわかりやすく教えてやるぜ」というつもりはまったくありません。勘違いしている記述もあると思っています。おかし
「プログラマのための線形代数」ウォーミングアップ
さのたけと @taketo1024 勉強会の宣伝と参加者へのウォーミングアップも兼ねて、このスレで僕なりの「線形代数のこころ」をツイートしていこうと思います。ここに書いていく話を勉強会に盛り込んでいく予定なので、「なるほど！」と思うことがあれば参加を検討してみて下さい😉 2019-02-21 13:01:44 さのたけと @taketo1024 【行列とは？1】線形代数は（狭い意味では）ベクトルと行列の理論です。行列の定義や演算規則に触れる前に、「なぜそう定義するのか？」を納得するために、小学校で学んだ「比例関係」を思い出してみましょう。二つの量 x, y が y = ax と書けるとき「y は x に比例する」と言います。 pic.twitter.com/9G4tHUdexa 2019-02-21 13:01:44
決定不能問題ギャラリー (Gallery of Undecidable Problems) - iso.2022.jp
決定不能問題ギャラリー Gallery of Undecidable Problems 決定不能問題(undecidable problem)というのは，簡単に言えばコンピューターに解けない問題のことです． ここでは様々な決定不能問題とその証明を掲載しています．決定不能性の証明に主眼を置いているため，決定可能であることの証明はたいていの場合は概略に留めてあります．計算量に関する結果はたいてい証明しません． 初めての方は一番上の「Turing機械の定義と停止問題」から読むことをお勧めします．それ以降はおおよそどの順番で読んでも大丈夫です． 前提知識としては，集合と写像に関する基本的な知識があれば大丈夫なはずです(もちろん問題によって必要な前提知識は異なります)．細かいことに囚われず，大らかな気持ちで読んでいただければと思います．
「ガロア表現」を使って素数の分解法則を考える #mathmoring
2018/09/23に開催された、梅崎さん主催の「数学について話す会 https://unaoya.github.io/event.html 」で発表した資料です。 合同数問題という初等的な問題が保型形式によって解決する面白さについて、私の知っている限りでお話しました。 ※スライド１枚目でハッシュタグ「#数学について語る会」とありますが、正しくは「#数学について話す会」でした。 より詳しくはこちらのブログ記事でまとめています： 合同数問題と保型形式（タネルの定理の証明の概略） - tsujimotterのノートブック https://tsujimotter.hatenablog.com/entry/congruence_number_and_modular_forms 発表者：tsujimotter http://tsujimotter.info
圏論入門としてのホモロジー - 再帰の反復blog
圏論への入門の仕方 ホモロジー コホモロジー 関数のつながりにくさと(コ)ホモロジー 完全系列と圏論的視点 目次 圏論への入門の仕方 ホモロジー 付記:ホモトピーとホモロジーの違い コホモロジー 関数のつながりにくさと(コ)ホモロジー 完全系列と圏論的視点 制約としての完全系列 付記:加群のホモロジーとTor 圏論への入門の仕方 圏論を学ぶきっかけとしては、だいたい 計算機科学、論理学から ホモロジー、代数幾何から の二つがあって、一見すると計算機科学、ロジックの方から入った方が(数学の前提知識をあまり必要としないこともあって)易しいように見える。 でも現実には往々にして、わざわざ圏論という概念を導入する動機やメリットが見えてこないまま色々な言葉の説明がひたすら続いて挫折することになる。高校あたりで「三角関数とか対数とか何の意味があるんだ」「こんなこと何の役に立つんだ」とか言いたくなるのと
山手線は丸いのか？プログラマのためのトポロジー入門
Henri Poincaré defined mathematics as "the art of giving the same name to different things." Felix Klein proposed investigating the properties of figures on a manifold that remain unchanged under all transformations of a given group. This document discusses brief quotes from Henri Poincaré and F. Klein that define mathematics and the goal of studying transformation groups and invariant properties
Goodfellow先生おすすめのGAN論文６つを紹介
以下の6つの論文をゼミで紹介した Progressive Growing of GANs for Improved Quality, Stability, and Variation Spectral Normalization for Generative Adversarial Networks cGANs with Projection Discriminator High-Resolution Image Synthesis and Semantic Manipulation with Conditional GANs Are GANs Created Equal? A Large-Scale Study Improved Training of Wasserstein GANs Read less
勾配法は本当に鞍点近傍にはまるのか？モース理論で考えてみる - Qiita
TL;DR 勾配法はほとんどのケースで極小点に収束する（鞍点には収束しない） この事実は力学系や最適化の分野ではよく知られているが，機械学習では新しい？ 数年前にバズった勾配法の比較動画は実際の学習現象を説明できていないかも 鞍点の近傍での振舞いで差がつく？ いや，そもそも鞍点近傍に流れ込まないかも 比較動画に登場した鞍点は，実際にはまず生じないタイプかも 機械学習にも役立つモース理論 ほとんどすべての関数はモース関数 モース関数の臨界点のタイプはわずか $d+1$ 種類（$d$ は定義域次元） 安定/不安定多様体とモース・スメール複体で勾配法の流れは分かる Monkey saddleはまず現れない（もし現れても簡単に消せる） 量的な問題に関しては，結局は実験するしかない この記事を書いたきっかけ 昨夜，ある論文を見かけて，ふとこんなツイートをした． ML業界，「勾配法が鞍点に収束する確率
テンソルとは何か、なぜテンソルという概念が必要となるのか - 数学、ときどき統計、ところによりＩＴ
今回は「テンソルとは何か、なぜテンソルという概念が必要となるのか」について考えたいと思います。 予備的考察 テンソルとは何かという問いについて、身近な例である回転運動を素材にして考えていきたいと思います。高校や大学で物理を学んだ方であれば角運動量や力のモーメント等の言葉をご存じかもしれませんが、ここではそれらの定義を天下りに与えることなく、経験的な事実を手掛かりに定式化していきます*1。 はじめに状況設定をしましょう。回転軸から作用点までの位置ベクトルを とし、作用点に力 が掛かっているとします。てこの原理を思い出すと、回転に関する影響力は作用点までの距離と作用点に掛かる力の双方に比例しています。従ってこの影響力を と表すとき、 は次の性質を満たすことが期待されます。 , , . 上記の性質１において と の間で足し算が出来たり、性質３で を定数倍したりしていますが、これらの演算が出来るこ
可積分理論入門（イントロダクション） - 記号の世界ゟ
「可積分理論入門」というタイトルではありますが，自分で勉強しつつ，勉強したことをまとめておこうというのが，この記事のモチベーションです．それでは，始まり始まり． 可積分系とは何か KdV方程式 Darboux変換 KdV方程式とLax pair 応用例 まとめ 付録 可積分系とは何か おそらく，可積分は定義がはっきりとは決まっていないと思います．古典的にはLiouville可積分という概念があり，これにははっきりとした定義があります．Liouville可積分とは簡単に言えば，十分な個数の保存量があることです．可積分と呼ばれるものには，Liouville可積分のように多くの保存量を持つものもありますが，そのことが可積分とみなされる十分条件ではなさそうですし，ハミルトン系でないものや微分方程式でないものもあるので，厳密に定義するのは原理的に難しそうです． 私は可積分系の専門化ではないですが，そ
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特性類の気持ち
Black-Scholesの面白さ
GitHub - taketo1024/swm-core: Pure Math in Pure Swift.
精度保証付き数値計算プログラムの実装について
Introduction to Persistence Theory
https://www.semanticscholar.org/paper/Persistent-Homology-%E2%80%94-a-Survey-Edelsbrunner-Harer/1bd152c08b95a53a9efc8084a2ec1df1cc4c7aac?p2df
Introduction to Topological Data Analysis