スチュワートの定理の証明とその仲間 | 高校数学の美しい物語
∠APB=θ\angle APB=\theta∠APB=θ とおくと，余弦定理より， cosθ=AP2+BP2−c22AP⋅BP\cos\theta=\dfrac{AP^2+BP^2-c^2}{2AP\cdot BP}cosθ=2AP⋅BPAP2+BP2−c2 , cos(180∘−θ)=AP2+CP2−b22AP⋅CP\cos(180^{\circ}-\theta)=\dfrac{AP^2+CP^2-b^2}{2AP\cdot CP}cos(180∘−θ)=2AP⋅CPAP2+CP2−b2 これらと cosθ=−cos(180∘−θ)\cos\theta=-\cos(180^{\circ}-\theta)cosθ=−cos(180∘−θ) より， CP(AP2+BP2−c2)=−BP(AP2+CP2−b2)CP(AP^2+BP^2-c^2)=-BP(AP^2+CP^2-b^2
調和点列の様々な定義と具体例 | 高校数学の美しい物語
同一直線上に四点 A, P, B, QA,\:P,\:B,\:QA,P,B,Q がこの順にあるとき， 1：AP:PB=AQ:QBAP:PB=AQ:QBAP:PB=AQ:QB (線分 ABABAB を同じ比で内分する点 PPP と外分する点 QQQ) ならば四点 A, P, B, QA,\:P,\:B,\:QA,P,B,Q を調和点列と言う。
マルコフ連鎖の基本とコルモゴロフ方程式 | 高校数学の美しい物語
マルコフ連鎖とは， P(Xt+1∣Xt,Xt−1,…,X1)=P(Xt+1∣Xt)P(X_{t+1}\mid X_t,X_{t-1},\dots,X_1)=P(X_{t+1}\mid X_t)P(Xt+1∣Xt,Xt−1,…,X1)=P(Xt+1∣Xt) を満たすような確率変数の列 X1,X2,…X_1,X_2,\dotsX1,X2,… のこと。 上の式は，Xt+1X_{t+1}Xt+1 が XtX_tXt のみに依存する（Xt−1X_{t-1}Xt−1 以前には依存しない）ことを表しています。 例えば，ttt 日目の天気を XtX_tXt とし，以下の2つが成立するとしましょう。 XtX_tXt によって Xt+1X_{t+1}Xt+1 の傾向が決まる （例. 今日晴れたら明日も晴れやすい） Xt−1X_{t-1}Xt−1 以前は Xt+1X_{t+1}Xt
全ての三角形が二等辺三角形であることの証明！？ | 高校数学の美しい物語
三角形 ABCABCABC において，角 AAA の二等分線と BCBCBC の垂直二等分線の交点を DDD とおく。DDD から AB,ACAB,ACAB,AC に下ろした垂線の足を E,FE,FE,F とおく。 このとき，直角三角形 ADEADEADE と ADFADFADF は合同（角度が全て等しく斜辺は共通）。よって DE=DFDE=DFDE=DF，AE=AFAE=AFAE=AF 。 また，BCBCBC の中点を MMM とおくと三角形 DBMDBMDBM と DCMDCMDCM は合同（二辺とその間の角がそれぞれ等しい）。よって DB=DCDB=DCDB=DC 上の二つの結果より，三角形 DEBDEBDEB と DFCDFCDFC は合同（直角三角形において斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい）。よって EB=FCEB=FCEB=FC 以上により AB=AE+EB=AF+FC=ACAB
偏微分の順序交換の十分条件とその証明 | 高校数学の美しい物語
f(x,y)=exsin(x+y)+y2f(x,y)=e^x\sin (x+y)+y^2f(x,y)=exsin(x+y)+y2 について fxyf_{xy}fxy と fyxf_{yx}fyx を求めよ。 1つずつ計算していくのみ： fx=excos(x+y)+exsin(x+y)f_x=e^x\cos(x+y)+e^x\sin(x+y)fx=excos(x+y)+exsin(x+y) fxy=−exsin(x+y)+excos(x+y)f_{xy}=-e^x\sin(x+y)+e^x\cos(x+y)fxy=−exsin(x+y)+excos(x+y) fy=excos(x+y)+2yf_y=e^x\cos(x+y)+2yfy=excos(x+y)+2y fyx=excos(x+y)−exsin(x+y)f_{yx}=e^x\cos(x+y)-e^x\sin(
ペル方程式に関する基本的な性質まとめ | 高校数学の美しい物語
二次の不定方程式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 の多くがペル型方程式に帰着できます。 3x2−5y2=4 3x^2-5y^2=4 3x2−5y2=4 両辺 333 倍して 3x=X,y=Y3x=X, y=Y3x=X,y=Y とおくと， X2−15Y2=12 X^2-15Y^2=12 X2−15Y2=12 となりペル型方程式に帰着される。 (x,y)(x, y)(x,y) が整数なら (X,Y)(X,Y)(X,Y) も整数なので上記のペル型方程式の整数解 (X,Y)(X,Y)(X,Y) が求まればもとの整数解も全て求まる。 x2+2xy−y2−3=0 x^2+2xy-y^2-3=0 x2+2xy−y2−3=0 平方完成するとペル型方程式に帰着される： (x+y)2−2y2=3 (x+y)^2
難しめの数学雑学・ネタまとめ | 高校数学の美しい物語
最高難易度のテトリス（hatetris） 当サイトでは解析していませんが，おもしろいゲームなので紹介します。ネタになります。 8パズル，15パズルの不可能な配置と判定法 有名なパズルゲーム「8パズル，15パズル」について，置換の理論を用いて解析します。 偽物のコインと天秤の有名問題 コインと天秤に関する問題。ちょっとした時間つぶしにどうぞ！ ニム（複数山の石取りゲーム）の必勝法 頭脳王でやっていた「考察ゲーム」を一般化したゲームの必勝法について。 マルバツゲームは引き分けになる マルバツゲーム（三目並べ）というシンプルなゲームについて。 数学的帰納法によるハゲのパラドックス 全ての人がハゲであることの証明。 ラッセルのパラドックスの簡単な解説と例 集合論を適当に扱うと変なことが起きてしまうという話です。 シンプソンのパラドックス 個人的にかなり好きな話題です。 ブライスのパラドックス 交通
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ベクトルの内積と外積の意味と嬉しさ | 高校数学の美しい物語
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