偏微分の順序交換の十分条件とその証明 | 高校数学の美しい物語

f(x,y)=exsin⁡(x+y)+y2f(x,y)=e^x\sin (x+y)+y^2f(x,y)=exsin(x+y)+y2 について fxyf_{xy}fxy​ と fyxf_{yx}fyx​ を求めよ。 1つずつ計算していくのみ： fx=excos⁡(x+y)+exsin⁡(x+y)f_x=e^x\cos(x+y)+e^x\sin(x+y)fx​=excos(x+y)+exsin(x+y) fxy=−exsin⁡(x+y)+excos⁡(x+y)f_{xy}=-e^x\sin(x+y)+e^x\cos(x+y)fxy​=−exsin(x+y)+excos(x+y) fy=excos⁡(x+y)+2yf_y=e^x\cos(x+y)+2yfy​=excos(x+y)+2y fyx=excos⁡(x+y)−exsin⁡(x+y)f_{yx}=e^x\cos(x+y)-e^x\sin(