PLトポロジーの基礎
「PL トポロジーの基礎（暫定版）」で公開した PDF を切りのよいところまで書き上げることができたと思うので、新しいバージョンを公開したいと思います。（でも、これで完成版とはあえて言わないことにします。） まず、暫定版では PL 多様体の節が “Coming Soon(?)” となっていたので、その部分を実際に書いたことが一番の変更点です。また、既存の部分も改めて自分で読み直してみたところ、書き間違いや証明の不備もあることが分かったので、それらを出来る限り直しました。暫定版と同じ大きめの字で書かれたバージョン（12 ポイント版）のほかに、全体を見渡すのに便利なように字を小さくしたバージョン（10 ポイント版）も一緒に公開します。 PL トポロジー PDF（12ポイント版） PL トポロジー PDF（10ポイント版） 相変わらず図はありません。すみません。 さて、すでに暫定版で公開している
PLトポロジーの基礎（暫定版）
これは暫定版です。新しいバージョンは「PLトポロジーの基礎」をご覧ください。 久しぶりの投稿です。今回は、位相空間論から幾何学的トポロジーの方向に少し舵を切りたいと思います。PLトポロジーは多様体などを三角形分割を通して研究する分野です。そこで扱われる対象は「多面体」とよばれる三角形分割可能な図形であり、扱われる写像は「PL写像」とよばれるもので、これは定義域の適切な三角形分割について各単体をアフィン写像でうつすような写像をいいます。例えば、からへのPL写像は、グラフが折れ線である関数と同じものです。ちなみに、PL とは Piecewise Linear の略であり区分線型と訳すこともあります。もっと正確には Piecewise Affine とすべきかもしれませんが。 今回の PDF では、Rourke-Sanderson による Introduction to Piecewise-Li
位相空間論における反例と線形順序
位相空間論ではさまざまな例が全順序（またの名を、線形順序）を伴って構成されます。たとえば、実数直線 の通常の位相は開区間 の全体で生成されます。これを少し変更して、実数直線に の形の半開区間の全体で生成される位相を入れたものは Sorgenfrey 直線と呼ばれ、反例としてよく引用されるものです。これは例えば、それ自身はパラコンパクト Hausdorff だがその平方はパラコンパクトでないような空間の簡単な例になっています。 1 次元多様体で距離化可能でないものの例として、長い直線を以前に取り上げました。これも、全順序集合に開区間全体から生成される位相を入れたものです。長い直線の構成で重要だったのは、最小の非可算順序数 です。この に開区間から生成される位相を入れたものは、位相空間論で非常に汎用性の高い反例です。とくに、パラコンパクト性を一般化して得られる様々な性質が では成り立たない（
コンパクト開位相をめぐって
連続写像の空間に入れる位相としてコンパクト開位相が広く用いられています。これは基本的な構成の一つと言ってもいいと思いますが、位相空間論の初歩的なテキストでは軽くふれる程度の扱いが普通ではないかと思います。また、準開基により生成される位相として定義されるために、取り扱いが苦手だという声もよく聞きます。 コンパクト開位相の定義については、なぜそう定義すべきなのかピンと来ない人も多いと思います。そこで今回の PDF では、まず、関数空間の位相としてコンパクト開位相を用いる必然性を説明します。コンパクト開位相は定義域の空間が局所コンパクト Hausdorff 空間であるときに特に良い性質をもちますが、この局所コンパクト性も、ある意味で必然的な要請であることが証明されます。 コンパクト開位相による収束を実際に扱うためには、距離を用いる方法が便利な場合もあります。そこで、コンパクト開位相が距離化可能と
１次元多様体の分類
トポロジーの最大の目標が位相空間の分類であるとすれば、その目標に最も力が注がれている空間のクラスは多様体であると言えるでしょう。大雑把には、位相空間 が 次元多様体であるというのは、 の各点が に同相な近傍をもつということです。曲線は 1 次元多様体、曲面は 2 次元多様体とみることができます。地球上に暮らしている私たちが、狭い範囲を行き来している分には地面を平面のように思って構わないことは、球面の 2 次元多様体としての性質を表しています。 しかし、多様体の定義にはさらなる制限がつくのが普通です。ほとんどの場合、多様体は Hausdorff 空間であることが要求されます。これは不自然な条件のようにも見えますが、この仮定なしには、1 次元多様体ですら分類には手が付けられなくなってしまいます。たとえば、次の例を見てみましょう。 例 （Y 字型の空間） 空間 において、各 に対して と と
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