この記事では群論の重要定理であるラグランジュの定理の簡単な説明と、 群論を用いたCodeforces 334 (Div. 1) B. Moodular Arithmeticの解法について説明する。 この記事は 群の定義 部分群の定義 群の位数の定義 既約剰余類群 を知っている人を対象として書いた。 さて、ラグランジュの定理とは次の定理のことである。 有限群\(G\)の部分群\(H\)がある。このとき\(|H|\)は\(|G|\)の約数である。 この定理の証明方法と、応用方法を順に説明する。 ラグランジュの定理 ラグランジュの定理を導くのに必要な2つの定理を紹介する。 1つ目の定理は次のようなもの。 定理1:有限群\(G\)の部分集合\(A=\{g_1,g_2,\ldots,g_n\}\)の各元に\(g\in G\)を掛けた集合を \(gA=\{gg_1, gg_2,\ldots,gg_n\