最大フロー問題 - Wikipedia
最大フローのあるフローネットワークの例。始点 と終点 があり、各枝の数値はフローと容量を示す。 最大フロー問題（さいだいフローもんだい、英: Maximum flow problem）または最大流問題とは、単一の始点から単一の終点へのフローネットワークで最大となるフローを求める問題である[1]。単にフローの最大値を求める問題と定義されることもある。最大フロー問題は、より複雑なネットワークフロー問題である最小費用流問題の特殊ケースと見ることもできる。 最小カット問題（英: Minimum cut problem）とは、辺の重みが非負値の有向グラフにおいて、始点から終点までのパスが存在しなくなるように辺を除去した時に、除去した辺の重みの総和を最小にする問題。始点から終点への最大フローは始点から終点への最小カットと等しい。これを最大フロー最小カット定理と呼ぶ。 2部グラフの最大マッチング問題（英
ORWiki
OR学会50年の歴史の中で，OR事典の編纂・改訂は通算３度目となる．いろいろな理由からOR事典編集委員会は，「OR事典」をWebに公開するという手段をとることになった．前回はCDによる出版であった． 資料編だけは「OR事典」から切り離して，OR学会の通常のホームページの中に移すことになった．これは逆瀬川浩孝委員長のアイディアである。内容の性格上，資料追加も間違いの訂正も広報委員会の責任で簡単に出来るようになる． 前回までの学会の歴史資料はそのまま残してある．今回はデータ追加作業を基本に多少の資料追加を行った．前事務局長の藤木秀夫さんには，その後の学会活動全般にわたる記録をまとめて原稿を作成してもらった．学術会議関係も藤木さんが前回の形式に習って資料原稿を作成し，FMES会長の高橋幸雄さんに目を通していただいた． 各支部から増補追加の原稿が送られてきた．Webのサンプルを見てくださいと言って
グラフ理論 - Wikipedia
グラフ理論（グラフりろん、英: Graph theory）は、ノード（節点・頂点、点）の集合とエッジ（枝・辺、線）の集合で構成されるグラフに関する数学の理論である。 グラフ（データ構造）などの応用がある。 グラフによって、様々なものの関連を表すことができる。 6つの節点と7つの辺から成るグラフの一例 例えば、鉄道や路線バス等の路線図を考える際には、駅（節点）がどのように路線（辺）で結ばれているかが問題となる一方、線路が具体的にどのような曲線を描いているかは本質的な問題とならないことが多い。 したがって、路線図では駅間の距離や微妙な配置、路線の形状などがしばしば実際の地理上とは異なって描かれている。つまり、路線図の利用者にとっては、駅と駅の「つながり方」が主に重要な情報なのである。 このように、「つながり方」に着目して抽象化された「点とそれらをむすぶ線」の概念がグラフであり[1]、グラフがも
一筆書き - Wikipedia
六芒星の一筆書きの例。 一筆書き（ひとふでがき）とは、広い意味では「筆記具を平面から一度も離さず線図形を描く」ことである。狭い意味では、これに加えて「同じ線を二度なぞらない（点で交差するのはかまわない）」という条件が加わる。 以下は後者の狭い意味での一筆書きについて記す。 三角形「△」や四角形「□」は一筆書き可能だが、十字「+」は一筆書きできない。また、五芒星や白星「☆」、六芒星「✡」は一筆書き可能だが、アスタリスク「＊」は一筆書きができない。このように、一筆書きできる図形とできない図形がある。 「与えられた図形が一筆書き可能かどうか」という問題の例として、「ケーニヒスベルクの橋の問題」（独: Königsberger Brückenproblem）が知られている。なお、ケーニヒスベルクとは実際にあった場所の名前である。
de Bruijn Graph を使った de novo アセンブリの発想がすごい件 - ほくそ笑む
Velvet や ABySS などの代表的な de novo アセンブリツールでは、アルゴリズムに de Bruijn Graph というのを使っているそうです。どうやってアセンブルしているんだろう？と興味を持っていたので、元ネタの An Eulerian path approach to DNA fragment assembly を読んでみたんですが、その発想のすごさに度肝を抜かれました。せっかくなので、ここで簡単に説明してみたいと思います。 ケーニヒスベルクの橋 まずはグラフ理論の説明から。グラフ理論は、18世紀にオイラーという数学者が「ケーニヒスベルクの橋」という問題を解くために考え出したといわれています。 「ケーニヒスベルクの橋」は、次のような問題です。 18世紀の初めごろにプロイセン王国の首都であるケーニヒスベルクという大きな町があった。この町の中央には、プレーゲル川という大き
最大フロー最小カット定理 - Wikipedia
最大フロー最小カット定理（さいだいフローさいしょうカットていり、英: Max-flow min-cut theorem）は、フローネットワークにおける最大フロー問題についての定理である。これは、ネットワークに流れる「もの」の最大流量が、ボトルネックによって決まることを意味している。線形計画法についての定理メンガーの定理から導出することもできる。 左から:1. 与えられたネットワーク。各エッジの容量はすべて等しいとする。2. ひとつのフロー。3. 2の残余ネットワークと、その増加道。 4. 最大フローの残余ネットワーク。s から到達可能な緑の丸印のノードの集合をS, 不可能な青の四角のノードの集合をTとすると、(S, T) が最小カットになっている。 二端子フローネットワーク が与えられたとする。つまり、有限の有向グラフ の各エッジ（辺） に非負実数の容量 が割り当てられており、始点となるノ
フローネットワーク - Wikipedia
フローネットワーク（英: Flow network）は、グラフ理論における重み付き有向グラフの一種であり、各枝に容量（capacity）を設定し、各枝をフロー（flow）が流れる。各枝のフローはその容量を超えることはない。オペレーションズ・リサーチでは、重み付きグラフをネットワークと呼び、頂点をノード、枝をアークと呼ぶ。フローが満足すべき制約条件として、1つのノードに流入するフローとそのノードから流出するフローは常に等しい。ただし、始点（source）と終点（sink）では、その限りではない。このネットワークは、例えば道路網の交通量、パイプを流れる液体、電気回路を流れる電流、その他の何らかのネットワーク上を移動するものをモデル化するのに適している。フローネットワークに関する最適化問題はネットワークフロー問題と呼ばれる。
フォード・ファルカーソンのアルゴリズム - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "フォード・ファルカーソンのアルゴリズム" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2015年11月) フォード・ファルカーソンのアルゴリズム（英: Ford-Fulkerson algorithm）とは、フローネットワークにおける最大フローを求めるアルゴリズムである[1]。レスター・フォード Jr.（英語版、ドイツ語版、フランス語版、ロシア語版） と デルバート・ファルカーソン（英語版、ドイツ語版、スペイン語版、フランス語版） にちなんで命名されたもので、1956年に発表された。フォード・ファルカーソンのアルゴリズムの特殊版であ
オイラー路 - Wikipedia
英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知|en|Eulerian path|…}}をノートに追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明があ
Algo 23 MSTP
The document discusses algorithms for finding minimum spanning trees in graphs. It describes Prim's and Kruskal's algorithms, which both run in O(ElogV) time where E is the number of edges and V is the number of vertices. It also mentions that Fibonacci heaps can be used to implement Prim's algorithm in O(E+VlogV) time.
ベルマンフォードのアルゴリズムで実行される結果も逐次表示 - yasuhisa's blog
離散最適化理論の課題が出ていたので、ベルマンフォードのアルゴリズムを実装してみることにした。アルゴリズムが実行されていく様子の例もレポートに貼ろうと思ったんだけど、アルゴリズムはもうあるんだから、その様子をruby-graphvizとかで吐けばいいじゃんということでやってみた。 pngファイルをアニメーションgifに変換するのはこんな感じで。この辺を参考に。 convert -geometry 320x500! -delay 150 -loop 0 bellman_ford_example_a_uniq*.png bellman_ford_example_a.gif 俺はRubyで書いたわけだけど、こんなことをやってるid:mickey24に「それRでできるよ!!」と言われそうである。 単一始点最短路問題に対するその他のアルゴリズムベルマンフォードのアルゴリズムは単一始点最短路問題に対する
ダイクストラ法 - Bug's Groove
前回のアルゴリズムイントロダクション輪講の話題、単一始点最短路問題から。詳しくは アルゴリズムイントロダクション第24章 単一始点最短路問題 - naoyaのはてなダイアリー へ。その中で丁度前回 書いたプリム法と同じく、ダイクストラ法が最小優先度付きキューを使うので、ちょっといじったらかけるのでは？と思って書いてみました。(相変わらずの乱プログラムご容赦...)。対象のグラフは教科書通り。 実装的には、minheap クラスは前回のプリム法と全く一緒。MinPriorityQueue は前回と使い方が違うので一部実装し直し。(といっても relax の周り)。実行するとこんな感じになるはずです。 s -> y -> t (8) s -> y -> t -> x (9) s -> y (5) s -> y -> z (7) 教科書のヒープソート (6章) にもあったように、優先度付きキュー
オーダーを極める思考法
プログラムの実行に掛かる時間を把握しておくのは、プログラミングを行う上で基本的な注意点です。今回は、計算量のオーダーについて学びながら、TopCoderのMedium問題を考えてみましょう。 プログラムの実行時間 業務としてプログラミングをされている方には釈迦に説法かもしれませんが、プログラムの実行に掛かる時間を把握しておくのは、プログラミングを行う上で基本的な注意点です。そしてこれは、TopCoderなどのコンテストでプログラムを組む際にもよく当てはまります。通常、こうしたことは感覚的に理解している方がほとんどだと思いますが、具体的にどれくらいのループを回すと何秒掛かる、といった基準を持っている人は少ないのではないでしょうか？ 非常に基本的なことですが、プログラムの実行時間に関して再確認しておきたいと思います。 TopCoderの制限に関して TopCoderでは、実行時間およびメモリ使
FrontPage - PukiWiki: 2012年度夏学期「実践的プログラミング」へようこそ
授業について 「実践的プログラミング」は教養学部前期課程で開講されている。全学自由研究ゼミナールです。 履修希望の方はUTAS等をご覧ください。2020年夏学期は月曜5限にオンラインで開講されました。 内容に興味がある方はPDFの資料等をご覧ください。(授業で扱う範囲はこの一部で、また細かくは差異があります) ウェブページについて 現在CMS変更に伴う更新作業中です。過去のページも引き続き閲覧可能です。 なお、国際大学対抗プログラミングコンテスト(ICPC)については、現在は多少状況が変化していますので、過去のページをご覧の際はご留意ください。 ACM-ICPCは、2018年12月までにはACMの後援が外れて、ICPCとなりました。 2020年度は、COVID-19の影響で、各チーム分散した環境で国内予選が行われています。教員による「監督」制度も適用されていません。 なお、来年度以降は未定
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「ナイト・ツアー」の解をPython 60行でコーディング | スラド