常微分方程式の数値解法基礎 - LIGHT11
常微分方程式の数値解法のうち基礎的な手法をまとめました。 はじめに オイラー法 ホイン法 4次のルンゲクッタ法 参考 はじめに 3DCGで物理シミュレーションを行う際には常微分方程式を解く必要が出てきます。 しかしながら常微分方程式のうち解析的に解くことのできる問題は少ないため、 漸化式を用いて逐次計算を行う数値解法を用いることになります。 常微分方程式の数値解法はその性質上結果に誤差が生じ、その誤差を小さくするため多くの手法が存在します。 また手法により計算速度も異なるので、用途に応じて適したものを選択する必要があります。 そこで本記事ではこの常微分方程式の数値解法について、いくつかの基礎的な手法をまとめます。 オイラー法 最初に最もシンプルな方法であるオイラー法について説明します。 まず常微分方程式の解をとしたとき、の周りでテイラー展開すると以下の式を得られます。 ここで、 とすると式
「群」って何なの？「同一視」から始める群論 - アジマティクス
ものを知れば知るほど、いつも歩いている道なんかも解像度が上がって見えてくるわけです。 花の名前や雲の種類、建築の様式などはその代表格でしょう。 同じように、知れば知るほど数学の見え方の解像度が上がる（にも関わらず、高校までの数学ではまったくと言っていいほど出てこない）ものの代表格が「線形代数」と「群論」だと思っています。 線形代数については過去にこのブログで扱ったことがあるのでそちらを参照いただくとして、今回は知れば知るほど身の回りにあふれていることがわかって驚かされる「群」という概念のご紹介です。 一体、群とは何なのでしょうか？ とある３つの表 CASE-1 足して4で割る 0,1,2,3という4つの数がありますね。世の中には。 この4つの数に対して、「2数を足して、その答えを4で割ったあまりをとる」という演算を考えます。 例えば「2」と「3」に対してこの演算をすると「1」となります。
フィボナッチ数列とは、ソリティアである - アジマティクス
フィボナッチ数列 1,1から始めて、「前２つの項を足したものが次の項」という構造をしている数列が「フィボナッチ数列」です。具体的に書き下すとこういうものです。 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ... 確かに「前２つの項を足したものが次の項」になっていますね。言うまでもないですが、ここに現れている一つ一つの数が「フィボナッチ数」です。 番目のフィボナッチ数を「」と表すことにすると、フィボナッチ数列は以下の式で定義されます。 （前二つの和が次の数） （1,1から始める） これだけで十分です。これだけ指定してさえあれば、以降の数値は一意に定まります。 そしてこれは「0,1」から始めて足していっても結局同じ数列が現れるので、「0番目のフィボナッチ数」つまりとして0をおくこともあります。 さて、このフィボナッチ数の間にはさまざ
【GIF多め】ギャラリー：目で見る複素数 - アジマティクス
2乗して-1になる数「」と、実数を使って「」と表される数を複素数といいます。 複素数は、和をとったり積をとったり逆数をとったりといろいろできるわけですが、それらを図示してみるときれいな構造が見えることがあります。 この記事は、細かい解説はそこそこにして、複素数を眺めてうわ〜きれいだね〜素敵だね〜っていう記事です。 複素平面 任意の複素数は、平面上の一点として表すことができます。 今でこそ「複素数といえば平面」というイメージがあるかもしれませんが、「複素数を平面上の一点として表す」というのは驚くほど画期的なアイデアです。 それまで、複素数は「方程式を解く途中にだけ出てきて、いざ解かれたあかつきには消えてしまう」という「便宜的な数」「虚構の数」と思われていました。 ガウスによって「複素平面」のアイデアが導入されてようやく複素数が図形的な表れを伴った。複素数にはそんな歴史があるようです。 複素数
「行列の倍率的要素」である行列式が0だったりマイナスだったりするときの話 - アジマティクス
いままでのあらすじ 前回の記事（線形代数の知識ゼロから始めて行列式「だけ」理解する - アジマティクス）で、行列に対して定義される「行列式」というものをインストールしました。そこにいたるまでの道のりを振り返っておきます。前回の記事を読んでいない人はここさえ読んでおけば大丈夫です。 ・座標変換のうち、直線と原点を変えないものを線形変換という。 ・線形変換は、基底ベクトルがそれぞれどう変化するかだけで記述できる。 ・基底ベクトルがそれぞれどう変化するかは、一つの行列を使ってまとめて記述できる。 ・行列とは線形変換であるといってよい。 ・行列（≒線形変換）からは、「その変換によって座標全体がどれくらい伸び縮みするか」という値を取り出すことができる。 ・その値こそが、行列式である。 この記事では、そんな行列式にまつわるあれやこれやを拾っていきます。 行列式の計算 実際に行列が与えられたときにそこか
線形代数の知識ゼロから始めて行列式「だけ」理解する - アジマティクス
この記事は、線形代数において重要な「行列式」の概念だけを、予備知識ゼロから最短距離で理解したい人のための都合のいい記事です。 そのため、わかっている人から見れば「大雑把すぎじゃね？」「アレの話するんだったらアレの話もしないとおかしくね？」という部分が少なくないかもですが、趣旨をご理解いただいた上でお付き合いください。明らかな間違いに関しては、ご指摘いただけますと助かります。 線形変換 ↑座標です。 座標を変形することを考えます。つまり、座標変換です。 座標変換にもいろいろあって、以下のようにグニュッと曲げたやつ も座標変換には違いありませんが、今回ここで考えるのは線形変換だけにします。線形変換とは大雑把に言えば「すべての直線を直線に保つ」「原点を動かさない」という条件を満たす変換です。 そういう変換には例として、伸ばしたり縮めたりの拡大・縮小（scale）、原点中心に回す回転（rotate
Javaゲーム制作記 任意多角形の三角形分割
今日はゲームの更新ではありませんが、 物理ゲームを作る過程で生まれた問題の解決方法です。 「任意多角形の三角形分割」 です。 今使っている物理エンジンは、凸包(凹んでない多角形)しか扱えません。 とすると、多角形の作成に制限が出てしまいます。 前に、 ほんとは用意しないつもりだったけど、手が滑って(？) ｢ぐりぐりポリゴンが書けるツールを用意する｣ と言ってしまったので、せっかくなので作ります。 "任意多角形の三角形分割"などと書きましたが、 ｢適当な図形を全部三角形で作ってみよう｣という事です。 すごく参考になったページがあります。 [お勉強] 非凸多角形の三角形分割 ※勝手にリンク貼りました。すみません 手法とかはこのページを見れば大体分かるのだけど、 ちょっと難しくてわからないと言う人向けに詳しい解説を用意しました。 長くなるので続きからどーぞ
"独創的すぎる証明"「ABC予想」をその主張だけでも理解する - アジマティクス
2017年12月16日、数学界に激震が走りました。……というと少し語弊があるでしょうか。 この日、あの「フェルマーの最終定理」に匹敵するとも言われる数学の重要な予想、つまり未解決問題であった「ABC予想」が京都大数理解析研究所の望月新一氏によってついに解決されたというニュースが、数学界を、いや、世界中を駆け巡ったのです。 science.srad.jp とは言っても実は、ABC予想を証明したとする論文は2012年にすでに発表されていて、そこから５年間ずっと「査読中」、つまりその証明が正しいかどうかの検証中だったのです（５年もかかったというのは、それだけこの証明が独創的で難解だったことの証左でもあります）。 端から見ていた所感として、論文が出た当初は、本当にこれがABC予想の証明になっているのか疑う向きも多かったようですが、最近では、証明はほぼ間違いないのだろう、というような雰囲気だったよう
Easy Copy Mathjax
このサイト Easy Copy MathJax は、MathJax (LaTeX)で数式を書くためのコマンドを紹介し、簡単にコピーできるサイトです。スマホやタブレットから見ることはできますが、横幅1280px で見るのが一番見やすいです。MathJax を使い始める も合わせてごらんください。（2020年3月にリニューアルしました） English Page
【画像45枚あり】フーリエ変換を宇宙一わかりやすく解説してみる
こんにちは，学生エンジニアの迫佑樹(@yuki_99_s)です． 工学系の大学生なら絶対に触れるはずのフーリエ変換ですが，「イマイチなにをしているのかよくわからずに終わってしまった」という方も多いのではないでしょうか？ 難しいのに加えて，教科書もちょっと不親切で，いきなり論理が飛躍したりするんですよね(僕の理解力の問題かもしれませんが) 僕がフーリエ変換について学んだ時に，以下のような疑問を抱きました． 出来る限り難しい式変形は使わずにこれらの疑問を解決できるようにフーリエ変換についてまとめてみました!! 多少厳密性を欠いても，とりあえず理解するという目的の記事なので，これを読んだあとに教科書と付き合わせてみることをおすすめします． それでは，いってみましょう!! 今回の記事は結構本気で書きました． フーリエ変換の公式 今回のゴールを確認するべく，まずはフーリエ変換及びフーリエ逆変換の公式
回転行列からオイラー角のパラメータ抽出を行う - It_lives_vainlyの日記
...回転行列からオイラー角のパラメータ抽出を行いたいって要望って意外に高いんですね 個人的には、あまり意味が無いと思うのですが、一応まとめときます。 ってか、元のパラメータは一意に求めることが出来ないんです！！ その辺り、ちゃんとわかってます？ まず、回転行列をヨーピッチロール行列だと仮定します。 つまり ここで、は回転行列、はx軸周りの回転行列、はy軸周りの回転行列、はz軸周りの回転行列とします。 復習のため、それぞれの回転行列を書いておきます よって、ヨーピッチロール回転行列は次のような形になります ここから、 なので、 とわかります。 から、 とわかります。 すなわち、 ということですね。 同様に、なので、となります。 ここまでをまとめると ってことです。 さて、これだけで終われば話は簡単なんですが、例外があります。 ヨーピッチロール行列を良く眺めてみればわかりますが、の時には、と
初心者用 テイラー展開解説
ある程度予想はしていましたが､期末試験の結果は悲惨なものでした。 中でもテイラー展開は目も当てられないありさまでした。 日ごろ数学で苦労しているメンバーはともかく、 数学を得意としている皆さんも壊滅に近い状態でした。 とりあえず教科書に書いてある式を当てはめてみて、 何かやってる振りはしているけれども､ 書いている本人が何をやってるのかわからない状態で、 他人が読んで意味がわかるわけがありませんよね。 テイラー展開が何なのか、がわかってないんだな。 基本思想を以下に説明するので、今学期 最後のチャンスと思って理解してください。 ちょっと (1.0007)15を計算してみてくださいな (1.0007)15、どうやって求めます？馬鹿正直に1.0007を15回掛けますか。 「俺 関数電卓あるから。」 ああそうですか。じゃあ電卓持ったまま読んでね。 0.0007 はとっても小さいから、1.0007
共分散の意味と簡単な求め方 | 高校数学の美しい物語
共分散は， 「XXX の偏差 × YYY の偏差」の平均 で定義されます。 ※偏差とは平均との差のことです。 定義だけでは共分散の意味は分かりにくいので，簡単な具体例で計算してみます。 555 人でテストを受けたデータを考える。 X:X:X: 国語の点数，YYY :数学の点数。 各々の点数は，(50,50),(50,70),(80,60),(70,90),(90,100)(50,50),(50,70),(80,60),(70,90),(90,100)(50,50),(50,70),(80,60),(70,90),(90,100) このときの共分散を計算してみましょう。 まず，国語の平均点 μX\mu_XμX は， μX=15(50+50+80+70+90)=68\mu_X=\dfrac{1}{5}(50+50+80+70+90)=68μX=51(50+50+80+70+90)=68
最小二乗法で平面を求める
► 2019 (2) ► 3月 (1) ► 1月 (1) ► 2018 (5) ► 12月 (2) ► 11月 (2) ► 8月 (1) ► 2017 (2) ► 6月 (1) ► 1月 (1) ► 2016 (7) ► 12月 (3) ► 2月 (4) ► 2015 (4) ► 11月 (1) ► 3月 (2) ► 2月 (1) ► 2014 (3) ► 6月 (1) ► 4月 (1) ► 3月 (1) ► 2012 (19) ► 11月 (2) ► 8月 (4) ► 6月 (1) ► 5月 (4) ► 4月 (3) ► 2月 (4) ► 1月 (1) ► 2011 (51) ► 12月 (2) ► 11月 (5) ► 10月 (12) ► 7月 (1) ► 6月 (1) ► 5月 (2) ► 4月 (2) ► 3月 (6) ► 2月 (10) ► 1月 (10) ▼ 2010 (84)
Argorithms ( Ray Tracing )
レイトレーシング レイトレーシングとは コンピュータによって3次元の画像を計算するアルゴリズムの一方法である。 簡単に考え方を述べると、現実の世界では太陽や蛍光灯から出た光が 物体に当たって反射し、その反射した光が人間の目に入ってものを見ることができる。 レイトレーシングではそれとは逆に目から視線が出て、その視線が物体に 当たった時、その物体が見えていると考える。 そしてその視線が物体に当たった点に当たっている光の強さの程度に よって、その点の色を決定する。 3次元の画像を生成するためのアルゴリズムは他にも代表的なものとして、 スキャンライン、ｚバッファ などがある。 レイトレーシングは例えばスキャンラインやｚバッファと比べて次のような特徴がある。 長所 美しい画像を作りやすい。 透過や屈折の効果を出すことができる。 アルゴリズムがシンプルでわかりやすい。 消費するメモリーが少ない。 短所
リリース、障害情報などのサービスのお知らせ
最新の人気エントリーの配信
j次のブックマーク
k前のブックマーク
lあとで読む
eコメント一覧を開く
oページを開く
【ツール】とっても便利：スクショで数式をLaTeX形式に変換してくれるアプリ - ScienceTime Physics
CGのためのフーリエ解析入門 フーリエ級数編 - Qiita
Mathcha - Online Math Editor
標準偏差とは何か？その求め方や公式の意味・使い方をわかりやすく説明します｜アタリマエ！
エスオーエル株式会社