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ルジャンドル変換についてのメモ - 再帰の反復blog
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まずルジャンドル変換というのは、おおざっぱには次のようなもの。 xを変数とする関数f(x)とその導関数... まずルジャンドル変換というのは、おおざっぱには次のようなもの。 xを変数とする関数f(x)とその導関数を考える。(この関数f(x)は適当な性質を満たす(= 凸関数である)としておく。) このとき、X = X(x)の関係を逆に解いて(x = x(X)という関数を導いて)、xの代わりにXを独立変数にして、 という新しい関数を作る。このときの関係が成り立っている。 このようにf(x) (と )から、F(X)を得る操作をルジャンドル変換という。 また逆に、F(X) (と )にルジャンドル変換をおこなうと、 となりf(x)が戻ってくる。 ⇅ ルジャンドル変換 単調増加関数の双対性 ルジャンドル変換は、主として凸関数に関する操作なので*1、そこに至る準備として単調増加関数(つまり x≦x'ならf(x)≦f(x')となる関数)を考える。 単調増加関数の入力側をxで表し出力側をXで表すことにする。つまり、