偏角の原理を使って五次方程式を解く｜マスログ

偏角の原理 \(C\)をなめらかな単一閉曲線とし、\(f(z)\)は\(C\)上及び、\(C\)の内部で正則とする。 また、\(C\)の内部にある\(f(z)\)の全ての零点の個数を重複度も込めてカウントしものを\(N\)とする。 このとき(なんと!!) \[ \frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f^{\prime}(z)}{f(z)}dz=N \] が成り立つ。 (注：偏角の原理はより一般に\(C\)内に極があるような\(f(z)\)に対しても同じような主張をしているのですが、本記事では極がある関数は扱わないため上のように紹介しています。ある意味上の主張は偏角の原理一歩手前(偏角の定理\(\beta\)版)です。 つまり一言でいうと、「複素平面上の領域\(D\)の中に存在する\(f(z)\)の零点の個数は、\(D\)の境界に沿って\(\displaystyle \fr