MCMC講義（伊庭幸人） 難易度 - YouTube を観ていたところ、「(モンテカルロ法で円周率を求めるのは高次元になるとうまく行かなくなるので)一度は必ずやってみるべし！」と言われたのでやってみました。(4:17～) もちろんSASで。 N次元単位超球の(超)体積 超球を包む1辺の長さが2の超立方体の(超)体積 円周率を求める コードをシンプルにするために球の中心を原点にとり、すべての次元に対して正の方向のみを考えます。すると、球内部の体積は、単位立方体の体積はとなります。 この立方体の中に一様ランダムに点を打っていったときに、点を打った数と球の中に点が入ったときの数の比率が立方体の体積に対する球内部の体積の比率に近くなることが期待できます。 式で書くと、 について整理すると となります。*1 コード %macro pi(dim=, rep=); data pi; do i = 1 t

次元の呪い（じげんののろい、英: The curse of dimensionality）という言葉は、リチャード・ベルマンが使ったもので、（数学的）空間の次元が増えるのに対応して問題の算法が指数関数的に大きくなることを表している。 例えば、単位区間をサンプリングするには100個の点を等間隔で、かつ点間の距離を 0.01 以上にならないように配置すれば十分である。同じようなサンプリングを10次元の単位超立方体について行おうとすると、必要な点の数は 1020 にもなる。したがって、10次元の超立方体はある意味では単位区間の1018倍の大きさとも言える。 高次元ユークリッド空間の広大さを示す別の例として、単位球と単位立方体の大きさを次元を上げながら比較してみればよい。次元が高くなると、単位球は単位立方体に比較して小さくなっていく。したがってある意味では、ほとんど全ての高次元空間は中心から遠く、

有限生成アーベル群（ゆうげんせいせいアーベルぐん、英：Finitely_generated_abelian_group）とは、抽象代数学において、アーベル群 (G,+) が有限生成 (finitely generated) であるとは、G の有限個の元 x1,...,xs が存在して、G のすべての元 x が n1,...,ns を整数として x = n1x1 + n2x2 + ... + nsxs の形に書けるということである。 この場合、集合 {x1,...,xs} を G の生成系あるいは生成集合 (generating set) といい、 x1, ..., xs は G を 生成する (generate) という。 明らかに、すべての有限アーベル群は有限生成である。有限生成アーベル群は単純な構造をもっており、以下で説明するように完全に分類することができる。 例[編集] 整数全体の成

[ver. 3.95　　（ 2012.11.11 ）] ※　「発展編」の「正しいか？」の後に「注記」を加筆した。 （ 2012.09.03 ） ※　「専門解説編」の「公理９」の箇所 を加筆補充しました。 （ 2012.09.07 ） ※　「新まとめ」という 専門家向けのページを公開しました。 （ 2012.11.11 ） このホームページに示すことは、「現代数学を構築するには、集合論による方法のほかに、別の方法もある」ということだ。（具体的に言えば、「区体論による方法」である。） 以下で示すのは、数学に関する学術的な話である。とはいえ、前半（Part１～Part３）に関する限りは、論文というほど堅苦しくはない。一般の人々にも理解できるようなものだ。 対象とする読者は、知的好奇心のある人々である。教わったことを単に覚えるだけでなく、自分の頭で考えようとする人々である。ただし、数学の不得意な人

バーンサイドの補題（英: Burnside's lemma）、あるいはバーンサイドの数え上げ補題、コーシー・フロベニウスの補題、軌道の数え上げ補題とは、対称性を考慮して数学的な対象を数え上げるときに有用な群論の結果である。 以下では G は有限群で集合 X に作用しているとする。群 G の各元 g に対して Xg で元 g によって固定されるすべての X の元からなる集合を表す。バーンサイドの補題は軌道の数 |X/G| は次の式で表せることを主張している[1]。 つまり軌道の数（これは自然数あるいは+∞）は群 G の元による固定点の数の平均（これも自然数あるいは+∞）と等しい。もし G が無限群ならば |G| による除法は定義されないが、その場合には次の基数に関する主張が成り立つ。 例と応用[編集] 以下ではこの補題を使って立方体の面を3色で塗り分ける数を決定する。ただし回転させて一致する

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "超実数" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2023年7月） 原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な表現に改訳できる方を求めています。 超実数（ちょうじっすう、英: hyperreal number）または超準実数（ちょうじゅんじっすう、英: nonstandard reals）と呼ばれる数の体系は無限大量や無限小量を扱う方法の一つである。超実数の全体 *R は実数体 R の拡大体であり、 の形に書けるいかなる数よりも大きい元を

数学における順序体（じゅんじょたい、英: ordered field）とは、全順序をもつ体で、その順序が体の演算と両立するもののことである。 順序体は標数 0 でなければならず、任意の自然数 0, 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, … は全て相異なる。従って順序体は無限個の元を含まねばならず、有限体には順序を定義することができない。 順序体の任意の部分体は、元の体の順序に関してそれ自身順序体を成す。任意の順序体は有理数体に同型な部分順序体を含む。任意のデデキント完備（英語版）順序体は実数体に同型である[1]。順序体において平方元は非負でなければならない。従って複素数体には（虚数単位 i の平方が −1 だから）順序を定義することはできない。任意の順序体は実体である。 歴史的にはヒルベルト、ヘルダー、ハーンらを含む数学者たちによって徐々に公理化が進められ、1926年に順序体および（形

-1×-1 = 1を証明してください。 例とか例えではなく、以下の「ペアノの公理による1+1=2の証明」と同じくらい厳密な証明をお願いいたします。 http://d.hatena.ne.jp/tomo31415926563/20090110/1272413984 ペアノの公理 自然数は以下を満たす。 (1)自然数 0 が存在する。 (2)任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。 (3)0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。 (4)異なる自然数は異なる後者を持つ。つまり a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。 (5) 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。 ペア

確率論における独立（どくりつ、英: independent）とは、2つの事象が何れも起こる確率がそれぞれの確率の積に等しいことをいう。一方の事象が起こったことが分かっても、他方の事象の確率が変化しないことを意味する。 この「独立」の概念は、2個以上の事象、2個以上の確率変数、2個以上の試行に対して定義される。 2つの確率変数が独立であるとは、「ある確率変数の値が一定範囲に入る事象」と「別の確率変数の値が別の一定範囲に入る事象」が、考えられるどのような「一定範囲」（「考えられる」とは通常ボレル集合族を指す）を定めても事象として独立であることをいう。2つの確率変数が独立である場合は、一方の変数が値をとっても、他方の変数の確率分布が変化しないことを意味する[1]。 確率論における独立は、他の分野における独立性の概念と区別する意味で、確率論的独立（かくりつろんてきどくりつ、英: stochasti

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伝説の入試問題（数学）について 良問・難問・奇問であるが故に伝説となっている(と個人的に思う)大学入試の数学の問題を集めてみた。 2013年　センター試験　つかれた盲点！1ヶ所で27点が奪われた！ 2010年　センター試験　センターレベルを超えた高難度の問題2連発がもたらした惨劇 2006年　京都大学　最も短い入試問題 2003年　東京大学　円周率を３にしようとするゆとり教育への警告？ 2002年　静岡大学　正確なグラフの図示で現れる世界遺産 1999年　東京大学　公式丸暗記に対する警告？ 1998年　東京大学　大学入試史上No.1の超難問 1998年　信州大学　フェルマーの最終定理 1995年　京都大学　自分の点数を自分で決められる？ 1993/2008年　東京工業大学　15年の時をまたいで難問再び！1行の記述で30点満点の10点？ この問題の図を描いてみると下のようになる。APの長さは