nnn 個のものから rrr 個を（順番を考慮せず）選ぶ組合せの数です。 nCr{}_n\mathrm{C}_rnCr と書きます。(nr)\dbinom{n}{r}(rn) と書くこともあります。 具体的には，nCr=n!r!(n−r)!{}_n\mathrm{C}_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}nCr=r!(n−r)!n!です。 このページでは，nnn は正の整数，rrr は 000 以上 nnn 以下の整数とします。
二項係数の有名公式一覧と2つの証明方針 | 高校数学の美しい物語
nnn 個のものから rrr 個を（順番を考慮せず）選ぶ組合せの数です。 nCr{}_n\mathrm{C}_rnCr と書きます。(nr)\dbinom{n}{r}(rn) と書くこともあります。 具体的には，nCr=n!r!(n−r)!{}_n\mathrm{C}_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}nCr=r!(n−r)!n!です。 このページでは，nnn は正の整数，rrr は 000 以上 nnn 以下の整数とします。
パスカルの三角形 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "パスカルの三角形" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2019年1月) パスカルの三角形の最初の6段 パスカルの三角形（パスカルのさんかくけい、英: Pascal's triangle）は、二項展開における係数を三角形状に並べたものである。ブレーズ・パスカル（1623年 - 1662年）の名前がついているが、実際にはパスカルより何世紀も前の数学者たちも研究していた。 この三角形の作り方は単純なルールに基づいている。まず最上段に 1 を配置する。それより下の段は両端には 1 を、それ以外の位置には右上の数と左上の数の和を配置
二項係数 - Wikipedia
二項係数の全体をパスカルの三角形の形に並べることができる。 4つの数から2つの数を選ぶ方法は 通りある。 四次までの二項展開の視覚的説明 数学における二項係数（にこうけいすう、英: binomial coefficients）は二項展開において係数として現れる正の整数の族である。二項係数は2つの非負整数で添字付けられ、添字 n, k を持つ二項係数はふつう (n k) とか (n¦k) と書かれる（これは二項冪 (1 + x)n の展開における xk の項の係数である。適当な仮定の下で、この係数の値は で与えられる）。二項係数を、連続する整数 n に対する各行に k を 0 から n まで順に並べて得られる三角形状の数の並びをパスカルの三角形と呼ぶ。 この整数族は代数学のみならず数学の他の多くの分野、特に組合せ論において現れる。n元-集合から k個の元を（その順番を無視して）選ぶ方法が (
局所探索法 - Wikipedia
局所探索法（きょくしょたんさくほう、英: local search）や逐次改善法（ちくじかいぜんほう、英: iterative improvement）や近傍探索法（きんぼうたんさくほう）は、探索アルゴリズムの一種である。 概要[編集] 局所探索法とは近似アルゴリズムの中でも最も単純なアルゴリズムの枠組みの一つである。広義には後述する手法の枠組みを持つアルゴリズムの総称として使われており、狭義には山登り法の意味で使われている。今日のメタヒューリスティクスの多くの手法がこの枠組みを使用している。 「局所探索法」という言葉は主に探索アルゴリズムに対しての言葉であり、数値解析の分野に於いては「反復法」という言葉が用いられる。両者の違いとしては反復法は対象となる関数の連続性や1階微分方程式などが解っていることが前提の場合が多く、また求める解も最適解を要求されることが多いのに対し、局所探索法では離散
焼きなまし法 - Wikipedia
この項目では、確率的メタアルゴリズムについて説明しています。金属の熱処理については「焼きなまし」をご覧ください。 焼きなまし法（やきなましほう、英: Simulated Annealing、SAと略記、疑似アニーリング法、擬似焼きなまし法、シミュレーティド・アニーリングともいう）は、大域的最適化問題への汎用の乱択アルゴリズムである。広大な探索空間内の与えられた関数の大域的最適解に対して、よい近似を与える。 S. Kirkpatrick、C. D. Gelatt、M. P. Vecchiらが1983年に考案し[1]、1985年に V. Cerny が再発見した[2]。 その名称は、金属工学における焼きなましから来ている。焼きなましは、金属材料を熱した後で徐々に冷やし、結晶を成長させてその欠陥を減らす作業である。熱によって原子は初期の位置（内部エネルギーがローカルな極小状態）から離され、よりエ
整数計画問題 - Wikipedia
整数計画問題（せいすうけいかくもんだい）は、線型計画問題において、解ベクトルxの各要素を整数に限定した問題をいう。これはNP困難な問題に該当する。線型計画問題には多項式時間アルゴリズムが存在するのに対し、整数計画問題ではまだ見つかっていない。 解ベクトルxの各要素を0または1のみに限定したものを、特に0-1整数計画問題という。 整数計画問題として解かれる問題の例[編集] 頂点被覆問題 ナップサック問題 ハミルトン閉路問題 巡回セールスマン問題 集合被覆問題 施設配置問題 最大独立集合問題 最小極大マッチング問題 最大クリーク問題 支配集合問題 辺支配集合問題 ビンパッキング問題 一般化割当問題 参考になり得る図書[編集] 和書： 今野浩:「整数計画法」，産業図書，1981． 今野浩・鈴木久敏編：「整数計画と組合せ最適化」，日科技連，1982. 久保幹雄，田村明久，松井知己（編）：「応用数理
ナップサック問題 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "ナップサック問題" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2016年9月) ナップサック問題 ナップサック問題（ナップサックもんだい、Knapsack problem）は、計算複雑性理論における計算の難しさの議論の対象となる問題の一つで、n 種類の品物（各々、価値 vi、重量 wi）が与えられたとき、重量の合計が W を超えない範囲で品物のいくつかをナップサックに入れて、その入れた品物の価値の合計を最大化するには入れる品物の組み合わせをどのように選べばよいか」という整数計画問題である。同じ種類の品物を1つまでしか入れられない場
P、NP、NP完全、NP困難…似て非なる階層構造 - Qiita
コンピューターに問題を解かせるときに、それがどの程度の時間を消費するのかも大きな問題です。この観点から、問題はいくつかのパターンに区分されています。ただし、ややこしいです。 おことわり なお、分かりやすさを優先して、厳密でない説明となっている部分があります。たとえば、チューリング完全性を前提に、チューリング機械で計算するものを、通常のコンピューターで計算するものとしています。 ある判定問題（yes/noで答えられる問題）があって、それを解くことのできる多項式時間アルゴリズム（問題の規模に対して、計算時間が規模の多項式で表現される上限を持つ）が存在する場合に、その問題は「Pに属する」ということになります。 なお、この定義にはいくつかの注意点があります。まず、yes/noで答えられない問題（配列のソート）などは、定義上Pには分類されません。また、定数時間の場合や、問題規模の対数で多項式になる場
The Existence of the Tau One-Way Functions Class as a Proof that P != NP
We prove that P != NP by proving the existence of a class of functions we call Tau, each of whose members satisfies the conditions of one-way functions. Each member of Tau is a function computable in polynomial time, with negligible probability of finding its inverse by any polynomial probabilistic algorithm. We also prove that no polynomial-time algorithm exists to compute the inverse of members
近似アルゴリズム - Wikipedia
近似アルゴリズム（きんじアルゴリズム、英: approximation algorithm）とは、組合せ最適化問題の近似解を得るためのアルゴリズムを言う[1] [2][3][4]。近似解とは、実行可能解（かつ問題の何らかの制約を満たす解）ではあるが、正解（厳密解）ではないものを言う。これは組合せ最適化問題の正解（すなわち最適解）であることが（厳密には）保証されないところの解を得るものである。なお、問題を変形した近似問題に対する正解を得るアルゴリズムも、元の問題に対する近似アルゴリズムと言える。 近似アルゴリズムの中でも、そのアルゴリズムの出力する解の目的関数値と最適解の目的関数値の比（近似度）がある範囲内に収まることが保証されているもののことを特に、精度保証付き近似アルゴリズムと呼ぶ。そのような保証のないアルゴリズムは発見的手法（ヒューリスティクス）と呼ばれる。前者と後者を区別し、前者のみ
「グラフ理論」と「組み合わせ最適化アルゴリズム」の教科書PDF。離散数学の入門用の教科書 - 主に言語とシステム開発に関して
講義ノートの目次へ グラフ理論・組み合わせ最適化の講義ノート。 ネットワーク（経路系）のアルゴリズムも含む。 大学の情報科学では，「離散数学」という分野だ。 以下に，「グラフ理論」と「組み合わせ最適化」の入門段階の要点を並べてみる。 最大フロー問題，最短経路問題，ダイクストラ法 オイラーグラフ，ハミルトングラフ 巡回セールスマン問題，郵便配達人問題 幅優先探索，深さ優先探索 グラフの連結性 有向グラフと無向グラフ，グラフの隣接行列，双対グラフ 辺彩色と面彩色，四色問題 マトロイド，離散マルコフ連鎖 これらの要点を独学で勉強しよう。 グラフがわかれば，グラフ上の最適化もわかる。 資料は，下記の分類にしたがって掲載した。 （１）日本語の教科書 （２）英語の教科書 （３）グラフ理論の応用に関する話題（組み合わせ最適化など離散数学） ※P/NPなどの計算量理論のノートはこちら。 （１）日本語の教科
組合せ最適化を使おう - Qiita
野菜の選び方はナップサック問題、乗り換え駅探索は、最短路問題といいます。典型問題は、よく研究もされているので、多くの場合、効率的な解法があります。あるいは、定式化がされているので、すぐ解くことができます。あとで、やってみましょう。ここで、あげている全ての典型問題の実行例は、典型問題と実行方法をご覧ください。 汎用問題 最近、私がやっているコンテナの仕事のお話しをします。 世界中の人たちが、いろいろなものを安く買えるのはコンテナ輸送のおかげです。中国などで生産したものを日本やアメリカやヨーロッパに、大量に安く運べるからです。でも、空のコンテナが、どんどんたまります。また中国に戻さないといけません。いつ、どこからどこに戻すかを決めるのが、最小費用流問題になります。ところが、最小費用流問題で表せない制約条件もあります。1 つが、カボタージュとよばれるものです。カボタージュというのは、国内のみの輸
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codewars/index.js at master · gkucmierz/codewars
Multidimensional Knapsack Problem — Distributed
List of knapsack problems - Wikipedia
Amazon.co.jp: 今日から使える!組合せ最適化 離散問題ガイドブック (KS理工学専門書): 穴井宏和, 斉藤努: 本
Amazon.co.jp: 超高速グラフ列挙アルゴリズム:〈フカシギの数え方〉が拓く,組合せ問題への新アプローチ: ERATO 湊離散構造処理系プロジェクト (著), 湊真一 (編集): 本
https://pun6.com/Home/T/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%B9/j3558y7qsf2hfu7dpj7uswp4np82501d6ppyoa3a
離散数学 - Wikipedia
Amazon.co.jp: 技術者のための高等数学 6: E. クライツィグ (著), Kreyszig,Erwin (原名), 義保,田村 (翻訳): 本
