Automatic differentiation in Ruby
Contents Introduction What is a function? What is differentiation? Traditional strategies Symbolic differentiation Numerical differentiation Automatic differentiation Dual numbers Adding and multiplying Compatibility Other functions Conclusion Introduction Automatic differentiation is a clever trick that makes it easy to do differentiation on a computer. It’s a beautiful fusion of maths and comput
自動微分 - Wikipedia
自動微分（じどうびぶん、英: automatic differentiation, autodiff, AD）やアルゴリズム微分（英: algorithmic differentiation）とは、プログラムで定義された関数を解析し、関数の値と同時に偏導関数の値を計算するアルゴリズムである。 自動微分は複雑なプログラムであっても加減乗除などの基本的な算術演算や基本的な関数（指数関数・対数関数・三角関数など）のような基本的な演算の組み合わせで構成されていることを利用し、これらの演算に対して合成関数の偏微分の連鎖律を繰り返し適用することによって実現される。自動微分を用いることで偏導関数値を少ない計算量で自動的に求めることができる。 他の微分方式との違い[編集] 図1: 自動微分と記号微分の関係 自動微分は以下のどちらとも異なる。 記号微分・数式微分（symbolic differentiati
微分 - Wikipedia
函数のグラフ（黒線）と函数が描く曲線の接線（赤線）。接線の傾きは接点上の函数の微分係数に等しい。 数学における実変数函数（英語版）の微分係数、微分商または導関数（どうかんすう、英: derivative）は、別の量（独立変数）に依存して決まる、ある量（関数の値あるいは従属変数）の変化の度合いを測るものであり、これらを求めることを微分（びぶん、英: differentiation）するという。微分演算の結果である微分係数や導関数も用語の濫用でしばしば微分と呼ばれる。 概要[編集] 微分は解析学分野（特に微分積分学分野）の基本的な道具である。例えば、動く物体の位置の時間に関する導函数はその物体の速度であり、これは時間が進んだときその物体の位置がどれほど早く変わるかを測る。 一変数函数の適当に選んだ入力値における微分係数は、その点におけるグラフの接線の傾きである。これは導函数がその入力値の近くで
量子論 - Wikipedia
量子論（りょうしろん）とは、ある物理量が任意の値を取ることができず、特定の離散的な値しかとることができない、すなわち量子化を受けるような全ての現象と効果を扱う学問である。粒子と波動の二重性、物理的過程の不確定性、観測による不可避な擾乱も特徴である。量子論は、マックス・プランクの量子仮説（ドイツ語版）まで遡る全ての理論、モデル、概念を包括する。量子仮説は1900年に、例えば光や物質構造に対する古典物理学的説明が限界に来ていたために生まれた。 量子論は、相対性理論と共に現代物理学の基礎的な二つの柱である。量子物理学と古典物理学との間の違いは、微視的な（例えば、原子や分子の構造）もしくは、特に「純粋な」系（例えば、超伝導やレーザー光）において特に顕著である。しかし、様々な物質の化学的および物理的性質（色、磁性、電気伝導性など）のように日常的な事も、量子論によってしか説明ができない。 量子論には、
波動方程式 - Wikipedia
波動方程式（はどうほうていしき、英: wave equation）とは、次の式で表される定数係数二階線形偏微分方程式のことである[1]。 波動方程式は音波、水面の波紋、電磁波などの様々な振動・波動現象を記述する際に基本となる方程式である。s は波動の位相速度 (phase velocity) を表す係数である。 概要[編集] 3次元の場合、時刻 t における各位置の振動の変位を表す関数を u、振動の位相速度を s とすると、u は波動方程式 を満たす。[注 1]。 なお、記述される波動現象によって u の座標変数は変わってくるため、それに伴い波動方程式の形状も異なってくる。 1次元の波動方程式（主な現象：弦の振動[2]） 2次元の波動方程式（主な現象：膜の振動[2]） 振動・波動現象と呼ばれるものは一般に弦、膜、空気、水など媒質の振動現象を指し主に流体力学、弾性体力学の扱うところである。た
債券は上昇スタート、先物は史上最高値を更新－米債高で買い先行 - Bloomberg
（ブルームバーグ）：債券相場は上昇スタート。先物は史上最高値を更新した。前日の米国債相場が続伸したことや日本銀行が国債買い入れオペを実施するとの観測が手掛かりとなっている。 長期国債先物市場で中心限月の３月物は前営業日の９日終値比12銭高の148円32銭で開始し、前週末の夜間取引で記録した史上最高値148円30銭を上回った。一時148円38銭まで上昇し、最高値を更新した。 日本相互証券によると、現物債市場で長期金利 の指標となる新発10年物国債の337回債利回りは、９日午後３時時点の引値より１ベーシスポイント(bp)低い0.265％で開始。過去最低水準に並んでいる。 東海東京証券の佐野一彦チーフ債券ストラテジストは、米国市場の株安や長期金利低下が追い風だとし、「先週末は超長期ゾーンが調整したが、５年債利回りが0.01％に低下するなど全般的に地合いは持ち直し傾向にある」と指摘した。10
Exchange-traded fund - Wikipedia
An exchange-traded fund (ETF) is a type of investment fund that is also an exchange-traded product, i.e., it is traded on stock exchanges.[1][2][3] ETFs own financial assets such as stocks, bonds, currencies, debts, futures contracts, and/or commodities such as gold bars. The list of assets that each ETF owns, as well as their weightings, is posted on the website of the issuer daily, or quarterly
ヒルベルト空間 - Wikipedia
数学におけるヒルベルト空間（ヒルベルトくうかん、英: Hilbert space）は、ダフィット・ヒルベルトにその名を因む、ユークリッド空間の概念を一般化したものである。これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。 ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。そういった意味でのヒルベルト空間の研究は、20世紀冒頭10年の間にヒルベルト、シュミット、リー
Wikipedia (JP) - 指数関数（exponential function）
底が e である指数関数（グラフの 1 マスは 1） 実解析における指数関数（しすうかんすう、英: exponential function）は、冪における指数 (exponent) を変数として、その定義域を主に実数の全体へ拡張して定義される初等超越関数の一種である。対数関数の逆関数であるため、逆対数 (anti-logarithm, inverse logarithm) と呼ばれることもある[1][注釈 1]。自然科学において、指数関数は量の増加度に関する数学的な記述を与えるものとして用いられる（指数関数的増加や指数関数的減衰の項を参照）。 一般に、a > 0 かつ a ≠ 1 なる定数 a に関して、（主に実数の上を亙る）変数 x を ax へ送る関数は、「a を底とする指数関数」と呼ばれる。「指数関数」との名称は、与えられた底に関して冪指数を変数とする関数であることを示唆するもので
class Complex (Ruby 1.8.7)
クラスの継承リスト: Complex < Numeric < Comparable < Object < Kernel 要約 複素数を扱うためのクラスです。 このライブラリを require すると、Math モジュールが複素数対応に拡張されます。 対象となる複素数を以下のように極座標表示した時の z = a + b * i = r * exp(i * t) 偏角 t は[-π,π]の範囲であると考えて、関数は定義されます。 Complex#argを参照して下さい。 以下が複素関数の定義です。 abs(z) = r sqrt(z) = sqrt(r) * exp(i * t/2) exp(z) = exp(a) * exp(i * b) log(z) = log(r) + i * t sin(z) = (exp(i * z) - exp(-i * z)) / 2i cos(z) = (ex
応用数学 - Wikipedia
英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知|en|Applied mathematics|…}}をノートに追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針につい
特異点 - Wikipedia
特異点（とくいてん、英: singular point、シンギュラー・ポイント）は、一般解の点ではなく特異解の点のこと[1]。ある基準 (regulation)を適用できない、あるいは一般的な手順では求まらない(singular) 点である。特異点は、基準・手順に対して「—に於ける特異点」「—に関する特異点」という呼び方をする。特異点という言葉は、数学, 物理学およびその応用である制御工学などで用いる[2][3]。なおカタカナ語のシンギュラリティ[シングラリティ](singularity)は特異点、特異解を含む、幅広い概念を指すことがある。 科学[編集] 数学[編集] 特異点 (数学) 複素解析 孤立特異点 可除特異点 極 真性特異点 動く特異点 幾何学 曲線の特異点 代数多様体の特異点 有理特異点（英語版） 特異点論（英語版） その他 局所的な変換が一対一を保たない点。円座標平面 (r,
複素解析 - Wikipedia
複素関数f(z) = (z2 − 1)(z − 2 − i)2/(z2+2+2i)のグラフ。色相は偏角を表し、明度（このグラフでは周期的に変化させている）は絶対値を表す。 数学の一分野である複素解析（ふくそかいせき、英: complex analysis）は、複素数上で定義された関数の微分法、積分法、変分法、微分方程式論、積分方程式論などの総称であり[1]、関数論とも呼ばれる[2][3][4]。初等教育以降で扱う実解析に対比して複素解析というが、現代数学の基礎が複素数であることから、単に解析といえば複素解析を意味することもある。複素解析の手法は、応用数学を含む数学全般、（流体力学などの）理論物理学、（数値解析[5][6]や回路理論[7]をはじめとした）工学などの多くの分野で用いられている。 歴史[編集] 複素解析の理論に貢献した先人[編集] 複素解析は最も古くからある数学の分野の一つであり
偏微分 - Wikipedia
数学(解析学)の多変数微分積分学における偏微分（へんびぶん、英: partial differentiation）は、多変数関数に対して一つの変数のみに関する（それ以外の変数は定数として固定する（英語版））微分である（全微分では全ての変数を動かしたままにするのと対照的である）。偏微分によって領域の各点で得られる微分係数と導関数はそれぞれ偏微分係数（へんびぶんけいすう、英: partial derivative）、偏導関数（へんどうかんすう）と呼ばれる。用語の濫用として、偏微分係数や偏導関数も偏微分と呼ばれる。偏微分はベクトル解析や微分幾何学などで用いられる。 函数 f(x, y, …) の変数 x に関する偏微分は など様々な表し方がある。一般に函数の偏微分はもとの函数と同じ引数を持つ函数であり、このことを のように記法に明示的に含めてしまうこともある。偏微分記号 ∂ が数学において用いら
クレジットデリバティブ - Wikipedia
クレジットデリバティブ（英: credit derivative）は、企業のデフォルト（債務不履行）のリスクを取引する金融派生商品の総称である。 伝統的なデリバティブが、株価や為替の変動である市場リスクを取引するものであるのに対して、クレジットデリバティブは、企業のデフォルトのリスクを取引する。代表的なクレジットデリバティブとして、クレジット・デフォルト・スワップ（CDS）やファースト・トゥ・デフォルト・スワップ（FtD）、債務担保証券（CDO）などがある。 例えばCDSは、買い手が定期的に売り手にリスクプレミアムを支払い、売り手は万一あらかじめ決められた参照企業にデフォルトが発生した場合にその損害額を保障するという契約である。このリスクプレミアムの計算には金融工学的手法が使われると言われているが、実際には倒産確率や期待損失からは説明できないレベルでの取引が行われており、需給や参加者心理に
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