Σｋの2乗の計算式
∑k=1nk2の計算式 数列 1 2 , 2 2 , 3 2 , ⋯ , n 2 の和（和記号Σを参照） ∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ■解説動画 ◇関連の動画一覧のページへ ■公式の導出 ( k + 1 ) 3 − k 3 = 3 k 2 + 3 k + 1 に順に k = 1 , 2 , 3 , ⋯ , n 代入し，下のように縦にそろえて加えると 2 3 − 1 3 = 3 · 1 2 + 3 · 1 + 1 3 3 − 2 3 = 3 · 2 2 + 3 · 2 + 1 4 3 − 3 3 = 3 · 3 2 + 3 · 3 + 1 ⋯ ⋯ + ) ( n + 1 ) 3 − n 3 = 3 · n 2 + 3 · n + 1 ¯ ( n + 1 ) 3 − 1 = 3 ∑ k
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二項定理，多項定理
(a+b)n を展開したとき， an−rbr の係数は nCr になる． （nCr を二項係数という．） すなわち，一般項は nCran−rbr になる．（r=0～n） 展開式を全部書くと (a+b)n=nC0an+nC1an−1b+nC2an−2b2 + ··· + nCkan−kbk + ··· + nCn−1abn−1+nCnbn 展開式をシグマ記号を用いて書くと (a+b)n= nCkan−kbk （※Σについては 初心者向き解説, 問題練習, Σの変形 参照．ただし，Σ記号が分からなくても，以下の解説は理解できる．） 例 (a+b)7 を展開したとき， a5b2 の係数は 7C2==21 になる． 一般項は 7Cra7−rbr 展開式を全部書くと (a+b)7=7C0a7+7C1a6b+7C2a5b2+7C3a4b3 +7C4a3b4+7C5a2b5+7C6ab6+7C7b7 =
シグマ計算を機械的に行うための３つの公式 | 高校数学の美しい物語
（1）平行移動の公式： ∑i=1nai=∑i=k+1n+kai−k\displaystyle\sum_{i=1}^na_i=\displaystyle\sum_{i=k+1}^{n+k}a_{i-k}i=1∑nai=i=k+1∑n+kai−k シグマの上端，下端をそろえたいときによく使う公式です。 意味を考えれば「どちらも a1a_1a1 から ana_nan までの和を表している」というだけです。よって，わざわざこの公式を覚えなくても，そのつど平行移動の意味を考えて，上端・下端・数列の添字を調整すればいいだけです。しかし，毎回意味を考えるのはめんどうなので， 上端と下端を同じ方向にずらして，添字を逆方向にずらすと覚えることをオススメします。 ∑i=1n−1i+∑i=2ni2=∑i=1n−1i+∑i=1n−1(i+1)2=∑i=1n−1(i2+3i+1)\displaystyl
【暗記しない数学】図形で理解するシグマ公式
シグマ公式ってなんだ？ さて，まずシグマってなんだ？ってところからの方もいらっしゃるでしょう． 教科書をめくるとこんな公式が． ぱっと見難しそうですよね． と，高校生の時の僕も例外なくこんな感じでした． でも，実際のところシグマ公式って全然難しくありません． 実は，ただ足し算をするだけです． 例えば，「1+2+3+4+5を計算しろ」って言われたら小学生でも答えられます． それをシグマを使って書き表すと以下のようになります． そう，シグマ表記さえできれば，あとは公式に入れるだけで計算が可能になるというわけです． これだけだとありがたみがわからないと思います． 例えば，「1〜10000まで全部足して!!」と言われたら，普通に計算したらとてもめんどくさいですが，シグマ公式を使えば一瞬です． もちろん，電卓を使ってがんばって足し算で計算したものとシグマ公式を使って求めた答えは一致します． さて，問
Σ(シグマ)の数式を理解してみる - デジタル・デザイン・ラボラトリーな日々
Σ(シグマ)って何 高校2年生頃に数列としてΣ（シグマ）という数式を習います。 例えば、１からｎまでの数列の総和を求めなさいといった場合、下記のよう数式になります。 このくらいは簡単に理解できますね。 ちなみに、１からｎまでの数列の総和は下記の公式で簡単に求めることが出来ます。 参照：ガウスの少年時代の逸話 あと、足し算ではなく掛け算の場合、Π（パイ）という数式を使います。 でも、掛け算の場合は対数にして掛け算を足し算に変換するため、Σ（シグマ）にすることが多いです。 Σ(シグマ)の意味 Σの意味は「合計」です。英語で言えば、「sum」です。 そして、Σは「シグマ」と読むギリシャ文字（σの大文字）で、英語のアルファベットの「Ｓ」（ｓの大文字）に相当します。 ですから、頭文字としてΣが使われます。 Σ(シグマ)の入門 世間的にはビッグデータを活用しようと統計学を学ぶ機会が増えてきました。 幾
物理数学I 線形代数 - Wikibooks
数値を何らかの仕方で組み合わせたものを行列と呼ぶ。 ただし、縦の長さと横の長さを、各行と列でそろえなくてはならない。 例えば、 は行列である。 高校までの範囲では、行列は3*3までしか扱わなかった。 しかし、実際には行列はm*n行列が存在し、(m.nは正の整数。) 全てにおいて和、積などの演算を行なうことが出来る。 行列の和は各要素ごとに和を取ることによって定義される。 このことは、行列の和が可換であり、結合則を満たすことを保証する。 実数倍は、各要素に実数を書けることによって 定義する。この演算は行列に単位行列の定数倍ををかける演算と 等しいことに注意。n*n行列の単位行列はすぐ後に定義する。 これらの操作が可能なことを、行列の線形性と呼ぶ。 行列の積は、 で与えられる。これらは2*2,3*3などの行列の演算の 拡張となっている。 この演算は短く と書かれることがある。 重要な事は、行列
ベクトル解析 [A] – 内積・外積、基本公式 – 65536.tech
ここでは、[1] にちょっとしたことを付け加えておきます。 クロネッカーのデルタ記号 δij のように書かれる記号 (i,j は添え字) をクロネッカーのデルタと呼びます。 基本的にこのような意味不明な記号を導入する意義とは、「表記が簡単になること」にあります。たとえば Σ は嫌われる記号の代表格ですが、わざわざ a1+a2+a3・・・ のような表記をしなくてもよくなるので、表記が簡単になっているのです。分かりやすい分かりやすくないかとは関係なく、とにかく、見た目上すっきりすることに意義があります。 とくに内積や外積といった添え字番号 (基底の方向) が違えば 0 になるような演算が多いベクトル解析では、このような「あるときは1になり(i.e. 値はそのまま)、そうでなければ値は 0 になる」記号はしばしば役に立ちます。 今までの記事では三次元空間の基底は i, j, k で表記していまし
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行列式 | 数学活用大事典[新]
% $1$ から $n$ までの自然数 $\{1,2,3,\ldots,n\}$ を 並べ替えて $(i,j,\ldots ,k)$ と表したものを, \ommindex{順列}{じゅんれつ}という。 とくに $(1,2,\ldots ,n)$ を \ommindex{自然な順列}{しぜんなじゅんれつ}という。 順列 $\sigma=(i,j,\ldots ,k)$ のうちの 2つの数を並べ替える操作を\ommindex{互換}{ごかん}という。 順列 $\sigma$ は何回かの互換を繰り返して 自然な順列にすることができる。 このときに必要な互換の回数を $k$ とするとき, $(-1)^k$ を\ommindex{順列の符号}{じゅんれつのふごう}といい, $\sgn{\sigma}$ と表す。 % $\sigma=(i,j,\ldots n)$ を $\{1,2,3,\ldots,
目次
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いろいろな数列(2)
§２ 数 列 ８ いろいろな数列(2) 前の章で， となることを学習しました。ここで，新しい記号 Σ を導入します。この Σ は，ギリシャ文字の大文字で シグマ と呼び，｢この記号の後ろに書かれた文字や数値を，k の値を変化(k=1,2,3,……,n-1,n)しながら加える作業｣を意味します。すなわち， (1) より は，｢k を 1 から n まで変化(k=1,2,3,……,n-1,n)させ，a1,a2,a3,……,an-1,an を加え合わせていきなさい｣ということを意味します。なお，変化させる変数 k は i, j など，どのような文字を利用してもかまいません。この記号を用いて，最初に示しました３つの式の左辺を表現しますと， となります。このように，ak のところには与えられた数列の一般項を記入します。したがって，最初に示しました３つの式は， この仕組みを，５項だけにしぼって，見てい
これでわかる！数列のシグマΣの計算方法を徹底解説
数列のシグマ$\Sigma$の計算を苦手としている人はかなり多いです。シグマの記号は数列の和を表す記号（総和記号）です。 数列の和を求める問題はセンター試験をはじめ、毎年多くの大学でも出題されています。多くの受験生が苦手とする群数列はこのシグマの計算が鍵となります。 ここではシグマの公式の紹介にとどまることなく、その具体例を豊富に取り入れながら説明していきたいと思います。センター試験でよく問われる群数列についても解説します。この記事では受験勉強を始める前に最低限覚えておきたいことについて解説していきます。 １ $\Sigma$の意味 $\Sigma$ はギリシャ文字でシグマと読みます。アルファベットで $S$ にあたる文字です。これは高校の数学では数列の和を表す記号として用いられます。 例えば次のような等差数列、$1,\: 2,\: 3,\: 4,\: \cdots,\: 9,\: 10$
数列の和の公式(Σ公式 Σk²)の導出(証明)2パターン
Σ公式の証明 数列の和の公式の導出}${階差の恒等式を利用した2通りの方法がある. いずれにしても,\ 階差の和と,\ より低次の${Σ}{$公式を利用することになる. この公式の導出自体が入試問題となりうるので,\ よく確認しておいてほしい. $Σk²\ の導出と同様の発想で,\ Σk³,\ Σk⁴,を順に求めていける.$ 出発点となる公式\ $Σk=1+2++n=12n(n+1)$\ は等差数列の和として求まる. $[{f(x)がn次式ならば,\ 階差f(x+1)-f(x)は(n-1)次式]$ 次のような{階差の恒等式}を考えると,\ 全て右辺の次数が左辺より1低くなる. (k+1)³-k³=3k²+3k+1 (k+1)⁴-k⁴=4k³+6k²+4k+1 左辺は,\ {階差の形}であることを利用し,\ 和を求めることができる. 右辺は,\ 判明済みのより低次のΣ公式を適用する. 後は,
総和の計算
home 数学メモ 1からnまでの正の整数の和は、＋の記号だけだと、以下のように・・・を用いて書く事になる。 これを、Σ（シグマ）記号を使うと、簡潔に書く事が出来る。Σはこのように書く事で、kを1からnまで一つずつ大きくしながら、Σの横の式にkの具体値を代入して計算をし（ここではkに代入するだけ）、足していく事を表す。 kに1からnまでを代入した全ての和を求める記号なので、総和記号と呼ばれる。 総和計算の最も基本的な展開公式として、以下のようなものがある（後ろの方に1次と2次証明を掲載する）。 さらに、非常に重要な一般的公式として、以下の一段目の二つがある。ここで、a_k、b_kとあるのはf(x)、g(x)と同じような意味で、kを含む何らかの式a、bを示している。cはkの値とは関係ない定数である。二段目、三段目に其々の例を示す。 以下は計算例である。公式を使って分解するが、数字だけになった
Σ記号と表計算ソフト
■ Σ記号に慣れよう(Σ記号の値をExcelで求めるには) ■解説 (1) k を数値で求めるには： 右図のようにセルA1に1，A2に2，･･･，A10に10を書き込んでおき(*1)，セルA11に関数 を書き込む(*2)．セルA11の値が答． （初歩的な参考） (*1) セルA1～A10に，1～10を書き込むには A1に１を書き込む A1～A10をドラッグにより反転表示にする メニューから「編集」→「フィル」→「連続データの作成」→「範囲：列，種類：加算，増分値：1 ＯＫ」 (*2) セルA11に =SUM(A1:A10) を書き込むには，次のうちいずれか１つのの操作を行えばよい（１つだけ） セルA11をポイントし，ショートカットアイコンのΣをクリックする．（この問題のように連続データに続くセルでΣをクリックすると，自動的に隣接する数値データの範囲全体を加えることが多いが，求めるものと異な
総和記号,Σ,シグマ
○ 和を表わす記号Σでは，次のように「式」の形のところの「変数で指定されたものを」「初めの値」から「終りの値まで」「1ずつ増やして」できる項の「和」を表わす． 例1 k = 1+2+3+4+5 （ = 15 になる） 例2 k = 1+2+3+4+5+6+7 （ = 28 になる） 例3 k = 2+3+4 （ = 9 になる） ○ Σ記号の内部で使う「変数」は，「式」の部分と同じ文字であればよく，どんな文字が使われているかは，和を求めた結果に影響しない．（変数が，式の部分と異なる文字のときは，無関係になりむしろ簡単になる[後出:例6,7参照]）
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階差数列を使った特殊な数列の一般項の計算 - JoyPlotドキュメント
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