数1の教科書レベルの公式（や定義など）を整理しました。リンク先ではその公式に関して踏み込んだ内容を解説しています。 2022年4月からの新課程に対応しています。 ◎は発展事項です。
数学１の教科書に載っている公式の解説一覧 | 高校数学の美しい物語
数1の教科書レベルの公式（や定義など）を整理しました。リンク先ではその公式に関して踏み込んだ内容を解説しています。 2022年4月からの新課程に対応しています。 ◎は発展事項です。
素数の逆数和が発散することの証明 | 高校数学の美しい物語
素数の逆数和が発散することの証明には以下を前提知識として使います。 1：limn→∞∑k=1n1k=∞\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}=\inftyn→∞limk=1∑nk1=∞ つまり，調和級数 1+12+13+⋯1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots1+21+31+⋯ は発散する。 →調和級数1+1/2+1/3…が発散することの証明 2：x>0x > 0x>0 において log(1+x)<x\log (1+x) <xlog(1+x)<x 微分すれば簡単に証明できます。図形的には y=log(1+x)y=\log (1+x)y=log(1+x) の x=0x=0x=0 における接線が y=xy=xy=x であることから従います。 また，和の記号 ∑\displayst
Wolfram Alphaのいろいろな使い方23選 | 高校数学の美しい物語
Wolfram Alphaという無料のサービスがいろいろな計算に使えて素晴らしいので紹介します。高校数学レベルの計算でも重宝します。 使い方は簡単。Wolfram Alphaのページに行って検索窓に命令を入力するだけです。 Wolfram Alphaの検索窓に数字や数式を入力するとそれに関連した情報がいくつも返ってきます。 ・素因数分解，二進法表記 入力例：26296495835182318 整数を入力するだけで素因数分解してくれます(Prime factorizationという部分)。二進法表記にも出力してくれます(Binary formという部分)。 ・式の展開 入力例：expand[(x+y)^3] 数学オリンピックの不等式証明などに出てくるかなり複雑な式の展開でも使えます。 ・因数分解 入力例：factor[a^3+b^3+c^3-3abc] ・関数のグラフ 入力例：y=x^3-3
偏微分の意味と計算例・応用 | 高校数学の美しい物語
偏微分について，高校数学の範囲で理解できるように解説します。一見難しそうな偏微分ですが，考え方は難しくありません。 f(x,y)=x2+xyf(x,y)=x^2+xyf(x,y)=x2+xy という，xxx と yyy についての関数を考えてみます。 これを「xxx 以外を定数とみなして（つまり yyy を定数とみなして）」微分すると，2x+y2x+y2x+y となります。 このように，特定の文字以外を定数とみなして微分したものを偏微分（偏導関数）と言います。つまり，この例では xxx についての偏微分は 2x+y2x+y2x+y です。 図形的には，xxx についての偏微分はその点における xxx 方向の接線の傾きです。下図は f(x,y)=x2+xyf(x,y)=x^2+xyf(x,y)=x2+xy の三次元プロットですが，その点における xxx 方向の接線の傾き（メッシュの横線の傾き
平均値，中央値，最頻値の求め方といくつかの例 | 高校数学の美しい物語
平均値とは，「合計」÷「個数」 中央値とは，「大きさ順に並べた真ん中」 最頻値とは，「一番たくさんある数」 例えば，3,2,6,6,43,2,6,6,43,2,6,6,4 というデータの場合， 平均値は，合計=3+2+6+6+4=21=3+2+6+6+4=21=3+2+6+6+4=21，個数は 555 なので 21÷5=4.221\div 5=4.221÷5=4.2 です。 中央値は，大きさ順に並べると 2,3,4,6,62,3,4,6,62,3,4,6,6 なので真ん中の 444 です。 最頻値は，一番たくさんある 666 です。 以下では，平均値，中央値，最頻値の意味や計算方法について，より詳しく説明していきます。
オーダー記法（ランダウの記号）の定義と大雑把な意味 | 高校数学の美しい物語
無限大や 000 付近でのふるまいを，以下の2つの考え方に従って大雑把に評価します。 影響力が一番強い項以外無視する 定数倍の差は無視する（係数は書かない） 例えば，n3+nn^3+nn3+n はルール1により n→∞n\to\inftyn→∞ では n3n^3n3 と同じくらい，2nlogn2n\log n2nlogn はルール2により n→∞n\to\inftyn→∞ では nlognn\log nnlogn と同じくらい，と考えます。 以下では，無限大でのふるまいについて詳しく解説します（000 付近でのふるまいは最後に少しだけ）。 主にアルゴリズムの計算量評価に用いられる記号です。 三種類の記号について，表記・大雑把な意味（重要）・きちんとした定義・具体例を解説します。 ビッグオー（重要） 表記： f(n)=O(g(n))f(n)=O(g(n))f(n)=O(g(n)) 意味：
ベイズの定理の基本的な解説 | 高校数学の美しい物語
P(X)P(Y∣X)=P(Y)P(X∣Y)=P(X∩Y)P(X)P(Y|X)=P(Y)P(X|Y)=P(X\cap Y)P(X)P(Y∣X)=P(Y)P(X∣Y)=P(X∩Y) p(X)p(X)p(X) ：事象 XXX が起きる確率 =∣X∣∣U∣=\dfrac{|X|}{|U|}=∣U∣∣X∣ P(Y∣X)P(Y|X)P(Y∣X) ：事象 XXX が起きたもとで事象 YYY が起きる確率(条件付き確率とも呼ばれます。詳しくは：条件付き確率の意味といろいろな例題 ) =∣A∣∣X∣=\dfrac{|A|}{|X|}=∣X∣∣A∣ （PX(Y)P_X(Y)PX(Y) と表記する流儀もあります。） よって，「 XXX も YYY も起きる確率」＝「 XXX が起きる確率」×「 XXX が起きたもとで YYY が起きる確率」なので， 「 P(X∩Y)=P(X)P(Y∣X)P(X\cap Y
条件付き確率の意味といろいろな例題 | 高校数学の美しい物語
条件付き確率の意味をわかりやすく説明します，いろいろな例題（サイコロ，男の子か女の子か問題，病気の検査の問題）を紹介します。 「事象 AAA が起きた」と分かったもとでの事象 BBB が起こる確率を条件付き確率と言い，P(B∣A),PA(B)P(B\mid A),P_A(B)P(B∣A),PA(B) などと書きます。 数式による定義は， P(B∣A)=P(A∩B)P(A)P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}P(B∣A)=P(A)P(A∩B) です。ベン図を見ると理解しやすいです。 全事象を UUU とし，AAA に属する場合の数を ∣A∣|A|∣A∣ などと書くと P(A)=∣A∣∣U∣, P(A∩B)=∣A∩B∣∣U∣P(A)=\dfrac{|A|}{|U|},\:P(A\cap B)=\dfrac{|A\cap B|}{|U|}P(A)=∣U∣∣A
ラグランジュの未定乗数法と例題 | 高校数学の美しい物語
二変数関数 f(x,y)f(x,y)f(x,y) を最大化したいときに，一般的には f(x,y)f(x,y)f(x,y) をそれぞれの変数で微分して 000 となる点を調べます。 微分係数が 000 となるのは極値となる必要条件なので， f(α,β)f(\alpha,\beta)f(α,β) が最大→(α,β)(\alpha,\beta)(α,β) は ∂f∂x=∂f∂y=0\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial y}=0∂x∂f=∂y∂f=0 の解，または区間の端っこと言えます。 この手法は例えば，二変数の二次関数の最適化問題に有効です。
オイラーの公式と複素指数関数 | 高校数学の美しい物語
任意の実数 θ\thetaθ に対して， eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\thetaeiθ=cosθ+isinθ
公式を丸暗記すべきかそのつど導出すべきか | 高校数学の美しい物語
具体例として三角関数の三倍角の公式 sin3x=3sinx−4sin3x\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 xsin3x=3sinx−4sin3x を扱います。 最後に結論を書いています。全部読むのがめんどうでしたら，最後の部分だけ読んでみてください。 このページの内容は，私の経験と知識と少しの偏見に基づく内容です，納得できた部分のみ取り入れていただければ幸いです。 まず，公式・数式の意味を考えずに丸暗記して，機械的に処理することについて考えます。公式の丸暗記は教育現場で嫌われがちだと思います。意味を考えないと応用問題に対応できないから，最低限の公式以外丸暗記はよくないと思われがちです。 ですが，丸暗記にも以下のようなメリットがあります。 丸暗記のメリット A1:時間短縮になる 複雑な公式になればなるほど，丸暗記するメリットは大きくなります。例えば，三倍角の公式は慣れても
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エラトステネスのふるいとその計算量 | 高校数学の美しい物語