統計力学の話ということで,回答します. 分配関数は英語では partition function, 状態和(sum over states)と呼ぶこともあります. 通常のカノニカル統計集合では,状態 n (ハミルトニアンの固有状態)のエネルギーを E(n), β=1/kT として(k はボルツマン定数) (1) Z(β) = Σ exp[-βE(n)] が分配関数の定義です.和はすべての n についてとります. 温度 T の下での状態 n の実現確率が exp[-βE(n)] に比例するというわけですが, これをボルツマン因子と呼んでいます. n が全部で何個あるかが系の自由度に対応しています. なお,(1)はハミルトニアン H を使って (2) Z(β) = Tr exp[-βH] と行列の跡の形に書くこともできます. (2)の右辺は基底の取り方には依存しません. ヘルムホルツ自由エ
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