テンソルとは何か Part.2 | 高校数学の美しい物語
V,WV, WV,W を有限次元のベクトル空間とし，{e1,…em},{f1…fn}\{e_1, \dots e_m\}, \{f_1 \dots f_n\}{e1,…em},{f1…fn} をそれぞれ V,WV, WV,W の基底のひとつとする。このとき V⊗WV \otimes WV⊗W は，形式的な記号 ei⊗fj,(i=1,…m,j=1,…n)e_i \otimes f_j, (i = 1, \dots m, j= 1, \dots n)ei⊗fj,(i=1,…m,j=1,…n) を基底にもつベクトル空間である。つまり集合としては V⊗W={∑i=1m∑j=1ncij(ei⊗fj)∣cij∈R,} V \otimes W = \left\{\sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n c_{ij} (e_i \otimes f_j) \mid c_{ij}
テンソルとは何か Part.1 | 高校数学の美しい物語
テンソル積（tensor product）とは，2つの（R\mathbb{R}R 上の）ベクトル空間 V,WV, WV,W に対して定まる新しいベクトル空間 V⊗WV \otimes WV⊗W です。（→ベクトル空間と次元） はじめに背後にあるモチベーションを説明し，次にとっつきやすい定義を紹介します。最後に普遍性を使った厳密な定義について軽く触れようと思います。 (以下では全て R\mathbb{R}R 係数で考えます。) 333 次元ベクトル空間 R3\mathbb{R}^3R3 を考えます。空間ベクトル v,w∈R3v, w \in \mathbb{R}^3v,w∈R3 に対して内積 v⋅wv \cdot wv⋅w というものが定義されていました。ここでは vvv と www の内積のことを b(v,w)b(v, w)b(v,w) と書くことにしましょう。つまり bbb は写像 b
テンソルとは何か、なぜテンソルという概念が必要となるのか - 数学、ときどき統計、ところによりＩＴ
今回は「テンソルとは何か、なぜテンソルという概念が必要となるのか」について考えたいと思います。 予備的考察 テンソルとは何かという問いについて、身近な例である回転運動を素材にして考えていきたいと思います。高校や大学で物理を学んだ方であれば角運動量や力のモーメント等の言葉をご存じかもしれませんが、ここではそれらの定義を天下りに与えることなく、経験的な事実を手掛かりに定式化していきます*1。 はじめに状況設定をしましょう。回転軸から作用点までの位置ベクトルを とし、作用点に力 が掛かっているとします。てこの原理を思い出すと、回転に関する影響力は作用点までの距離と作用点に掛かる力の双方に比例しています。従ってこの影響力を と表すとき、 は次の性質を満たすことが期待されます。 , , . 上記の性質１において と の間で足し算が出来たり、性質３で を定数倍したりしていますが、これらの演算が出来るこ
量子計算のための「テンソル積」入門 - めもめも
何の話かと言うと 量子計算の説明で必ず出てくるのが、 といったヘソマーク を用いた積（テンソル積）です。テンソル積の定義にはいくつかの方法（流派？）があり、個人的には、双対空間を用いた多重線型写像として定義するのがいちばんスッキリするのですが、数学的な厳密性にこだわらない方むけには、いまいち抽象的すぎて、遠回りな説明に感じられるかも知れません。 そこでここでは、一番ベタな「数ベクトル」による、基底を用いた定義を使って、テンソル積を説明してみます。 1階のテンソル 量子計算の話を念頭に置いて、2次元の複素ベクトル空間で話を進めます。まずは、2個の複素数を縦にならべた「縦ベクトル」を考えます。 一般には、これは、「複素数ベクトル」と呼ばれるものですが、ここでは、これに「1階のテンソル」という別名を与えます。 また、これを転置して横に数字を並べて、さらに、各成分の複素共役をとったものを考えます。
もういちどだけ内積・外積 [物理のかぎしっぽ]
この記事の前半では，ベクトルの掛け算である内積と外積を，もう一度じっくり考え直してみます．得になるような話は何も出てきませんので，『もうよく分かってるよ』という人は読まなくてもいいでしょう．内積や外積の計算をしていて，特に何も問題を感じない，という人も読まなくていいでしょう．『一応，計算方法は知ってるけど，なんだか意味がよく分からなくて，気持ちワルイ！』という人，どうぞ読んで見てください．高校生でも読める解説を目指しましたが，とことん理解したいという頑固な人を読者として想定していますので，少し高度な内容も含みます．発展的な内容に関しては，それに関連する分野に触れました．今後の勉強の指針になればと思います． 最後のセクションでは，テンソルの概念に少し触れます． ベクトルの掛け算 まず二つのベクトル , を次のように定義します．この記事で出てくるベクトルは全て 次元とします．太字の というのは
クロネッカー積 - Wikipedia
数学における行列のクロネッカー積（クロネッカーせき、英: Kronecker product）⊗ は任意サイズの行列の間に定義される二項演算で、その結果は区分行列として与えられる。行列単位からなる標準基底に関する線型空間のテンソル積の行列として与えられる。クロネッカー積は通常の行列の積とはまったく異なる概念であるので、混同すべきではない。名称はレオポルト・クロネッカーに因む。 定義[編集] A = (aij) を m × n 行列、B = (bkl) を p × q 行列とすると、それらのクロネッカー積 A ⊗ B は で与えられる mp × nq 区分行列である。もっとはっきり成分を示せば、 A ⊗ B は と書ける。行列 A および B が線型写像 V1 → W1 および V2 → W2 をそれぞれ表現するならば A ⊗ B はそれらの写像のテンソル積 V1 ⊗ V2 → W1 ⊗ W
双線形関数 [物理のかぎしっぽ]
ベクトルは，抽象的にはベクトル空間という集合の元だと考えられました( ベクトル空間と線形写像 参照)．ベクトル空間の元で本質的に重要なのは 線形性 という性質です．つまり，ベクトル空間の元を ，適当なスカラーを とすると，関係式 がなりたつということです． このような抽象的な代数構造は，慣れないと無味乾燥な議論に思えるかも知れませんが，数学的な構造を理解するのには大変に強力です．たとえば，ベクトル空間 上の線形汎関数は，線形関数であって（つまり を満たすということ）， の双対空間と呼ばれるベクトル空間 を形成することを見ました．（ 双対空間 を参照．）これは大変に面白い結果ですが，抽象的な数学の議論に慣れていないと，ちょっとすぐには思いつかないでしょう．このような代数的な構造が分かると，共変ベクトルと反変ベクトルという二つの体系が織り成す双対の世界がクリアに見えてきます．ここまではベクトル
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