テンソルとは何か Part.2 | 高校数学の美しい物語
V,WV, WV,W を有限次元のベクトル空間とし，{e1,…em},{f1…fn}\{e_1, \dots e_m\}, \{f_1 \dots f_n\}{e1,…em},{f1…fn} をそれぞれ V,WV, WV,W の基底のひとつとする。このとき V⊗WV \otimes WV⊗W は，形式的な記号 ei⊗fj,(i=1,…m,j=1,…n)e_i \otimes f_j, (i = 1, \dots m, j= 1, \dots n)ei⊗fj,(i=1,…m,j=1,…n) を基底にもつベクトル空間である。つまり集合としては V⊗W={∑i=1m∑j=1ncij(ei⊗fj)∣cij∈R,} V \otimes W = \left\{\sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n c_{ij} (e_i \otimes f_j) \mid c_{ij}
テンソルとは何か Part.1 | 高校数学の美しい物語
テンソル積（tensor product）とは，2つの（R\mathbb{R}R 上の）ベクトル空間 V,WV, WV,W に対して定まる新しいベクトル空間 V⊗WV \otimes WV⊗W です。（→ベクトル空間と次元） はじめに背後にあるモチベーションを説明し，次にとっつきやすい定義を紹介します。最後に普遍性を使った厳密な定義について軽く触れようと思います。 (以下では全て R\mathbb{R}R 係数で考えます。) 333 次元ベクトル空間 R3\mathbb{R}^3R3 を考えます。空間ベクトル v,w∈R3v, w \in \mathbb{R}^3v,w∈R3 に対して内積 v⋅wv \cdot wv⋅w というものが定義されていました。ここでは vvv と www の内積のことを b(v,w)b(v, w)b(v,w) と書くことにしましょう。つまり bbb は写像 b
複素数型のフーリエ級数展開とその導出 | 高校数学の美しい物語
まずは，実三角関数によるフーリエ級数展開の復習です。詳しくはフーリエ級数展開の公式と意味をどうぞ。 なお，この記事を通じて f(x)f(x)f(x) は周期 TTT の「まともな」実数値関数とします。 f(x)=a02+∑n=1∞(ancos2πnxT+bnsin2πnxT)f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos \dfrac{2\pi n x}{T}+b_n\sin \dfrac{2\pi nx}{T}\right)f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosT2πnx+bnsinT2πnx) ただしフーリエ係数は， an=2T∫0Tf(x)cos2πnxTdxa_n=\displaystyle\dfrac{2}{T}\int_0^{T}f(x)\cos\dfrac{2\pi nx
フーリエ級数展開の公式と意味 | 高校数学の美しい物語
f(x)f(x)f(x) が周期 TTT の「まともな」関数なら f(x)=a02+∑n=1∞(ancos2πnxT+bnsin2πnxT)f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos \dfrac{2\pi n x}{T}+b_n\sin \dfrac{2\pi nx}{T}\right)f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosT2πnx+bnsinT2πnx) ただし， an=2T∫0Tf(x)cos2πnxTdxa_n=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{T}f(x)\cos\dfrac{2\pi nx}{T}dxan=T2∫0Tf(x)cosT2πnxdx bn=2T∫0Tf(x)sin2πnxTdxb_n=\dfrac{2}{T}\di
決定係数の定義と相関係数との関係 | 高校数学の美しい物語
決定係数は，予測式（回帰式，回帰モデル）の精度を表す値です。 例えば，左側の図では，予測式がデータにうまく当てはまっているので決定係数が大きくなります（決定係数が 111 に近くなります）。 右側の図では，予測式でデータをあまり説明できていないので，決定係数は小さくなります（決定係数が 000 に近くなります）。 決定係数は R2R^2R2 という記号で表されることが多いです。 決定係数 R2R^2R2 の定義はいくつかありますが，以下の式で定義することが多いです： R2=1−∑i=1n(yi−f(xi))2∑i=1n(yi−μY)2R^2=1-\dfrac{\sum_{i=1}^n(y_i-f(x_i))^2}{\sum_{i=1}^n(y_i-\mu_Y)^2}R2=1−∑i=1n(yi−μY)2∑i=1n(yi−f(xi))2 ただし，(xi,yi)(x_i,y_i)(
ベータ分布の意味と平均・分散の導出 | 高校数学の美しい物語
ベータ分布とは，確率密度関数が f(x)=Cxa−1(1−x)b−1 (0≤x≤1)f(x)=Cx^{a-1}(1-x)^{b-1}\:(0\leq x\leq 1)f(x)=Cxa−1(1−x)b−1(0≤x≤1) であるような確率分布のことです。 ただし，a,ba,ba,b はパラメータ（正の実数）であり，CCC は規格化定数です。 ベータ分布は「コイン投げにおける表が出る確率の予測分布」という解釈ができます。 表が出る確率 xxx が不明であるコインを何回か投げて，表が mmm 回，裏が nnn 回出たとします。このとき「表が出る確率の予測値」は，パラメータが (a,b)=(m+1,n+1)(a,b)=(m+1,n+1)(a,b)=(m+1,n+1) であるベータ分布に従うと考えることができます(→注)。 例えば， (a,b)=(1,1)(a,b)=(1,1)(a,b)=(1,1)
ソフトマックス関数 | 高校数学の美しい物語
ソフトマックス関数とは yi=exiex1+ex2+⋯+exn (i=1,…,n)y_i=\dfrac{e^{x_i}}{e^{x_1}+e^{x_2}+\cdots +e^{x_n}}\:(i=1,\dots,n)yi=ex1+ex2+⋯+exnexi(i=1,…,n) という関数のこと。 各成分が正で，合計が 111 になるように調整するという役割を持つ。 ソフトマックス関数の定義式： yi=exiex1+ex2+⋯+exn (i=1,…,n)y_i=\dfrac{e^{x_i}}{e^{x_1}+e^{x_2}+\cdots +e^{x_n}}\:(i=1,\dots,n)yi=ex1+ex2+⋯+exnexi(i=1,…,n) について，説明します。 nnn 個の実数 (x1,⋯ ,xn)(x_1,\cdots,x_n)(x1,⋯,xn) を入力とし，
集合の濃度と可算無限・非可算無限 | 高校数学の美しい物語
集合 AAA の「大きさ」 について考えます。AAA が有限集合のときには，AAA の要素数が「大きさ」と考えられますが，無限集合のときは要素数を数えることができません。無限集合の中でも「要素がたくさんある」ものと「要素があまりない」ものを区別するために，集合に対して濃度という概念が定義されます。 集合 AAA の濃度 ∣A∣|A|∣A∣ を以下のように定義する。 有限集合 AAA の濃度 ∣A∣|A|∣A∣ は AAA の要素数とする。 AAA から BBB への全単射（一対一対応）がある場合（またそのときに限って）∣A∣=∣B∣|A|=|B|∣A∣=∣B∣ とする。 集合 AAA から BBB への単射が存在するとき，∣A∣≤∣B∣|A|\leq |B|∣A∣≤∣B∣ とする。 単射とは x≠yx\neq yx=y ならば f(x)≠f(y)f(x)\neq f(y)f(x)=f(
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半正定値対称行列の意味と性質【固有値・二次形式・分解・小行列式】 | 高校数学の美しい物語