行列のpノルムの定義と性質 - 具体例で学ぶ数学
$A$ は $n\times n$ 正方行列とします。$x$ は $n$ 次元ベクトル全体（からゼロベクトルを除いたもの）を動きます。 $\|x\|_p$ と $\|Ax\|_p$ は、ベクトルの $p$ ノルムを表します： $\|x\|_p=\sqrt[p]{|x_1|^p+ \cdots +|x_n|^p}$ 行列の $p$ ノルムは「変換前のベクトル $x$ の長さ」と「変換後のベクトル $Ax$ の長さ」の比の最大値を表します。つまり、拡大率の最大値とみなすことができます。 このノルムのことを「行列の作用素ノルム」「ベクトルの $p$ ノルムから誘導されたノルム」などと言うこともあります。 ノルムであること $\|A\|_p$ がノルムであることは簡単に確認できます。例えば、$\|A+B\|_p\leq \|A\|_p+\|B\|_p$ という三角不等式を満たすことは、ベクトルの
球面集中現象 - 具体例で学ぶ数学
二次元の場合 いきなり高次元の球を考えるのは大変なので、二次元の場合の球（つまり円）について考えます。半径 $1$ の円について、中心から距離が $0.9$ 以上離れている部分を「表面付近」と呼ぶことにします（図の緑の部分です）。 ・全体の円の面積は $\pi\times 1^2=\pi$ ・「表面付近」の面積は $\pi -\pi\times 0.9^2=0.19\pi$ つまり、全体のうち表面付近にあるのは $19$ ％です。 三次元の場合 次に、三次元の場合の半径1の球（つまり普通の球）について考えます。同様に、中心から距離が $0.9$ 以上離れている部分を「表面付近」とします。 二次元の場合と同様に直接計算してもOKですが、ここでは（三次元空間において）相似な図形の体積比が相似比の三乗に比例することを使って計算してみます。 ・全体の球の体積を $V$ とおく ・「表面付近」の体積
ローレンツ曲線とジニ係数 - 具体例で学ぶ数学
ローレンツ曲線は「どれくらい格差があるか」を表す曲線です。ローレンツ曲線が右下にあるほど格差が大きいと言えます。 ジニ係数は「どれくらい格差があるか」を表す数字です。ジニ係数が大きいほど格差が大きいと言えます。
ヒンジ関数の意味、損失関数として使えることの大雑把な説明 - 具体例で学ぶ数学
図のように、ある部分までは $0$ で、そこから一定の割合で増加していくような関数をヒンジ関数と言います。 例えば、赤いグラフの関数を式で表すと、 $f(x)=\begin{cases}0&(x\leq a)\\x-a&(x>a)\end{cases}$ のようになります。 ２つの式をまとめて $f(x)=\max(0,x-a)$ と書くこともできます。 別の例として、青いグラフの関数を式で表すと、 $f(x)=\begin{cases}b-x&(x\leq b)\\0&(x>b)\end{cases}$ のようになります。 ２つの式をまとめて $f(x)=\max(0,b-x)$ と書くこともできます。
ガウスカーネルとその特徴ベクトル - 具体例で学ぶ数学
ガウスカーネルとは ・$K(x,x’)=e^{-a(x-x’)^2}$ という式で定義される二変数関数のことをガウスカーネルと言います。$a$ は正の定数です。関数の入力は $x$ と $x’$ で、出力はスカラーです。このページでは一次元のガウスカーネルについて説明します（$x$ と $x’$ はスカラーとします）。 ・ガウス分布（正規分布）の確率密度関数に似ています。 ・ガウスカーネル $K(x,x’)$ は $x$ と $x’$ の「近さ」を表します。 ・$x=x’$ のとき $K(x,x’)=1$ で、$x\neq x’$ のときは $K(x,x’)<1$ です。 ガウスカーネルの特徴ベクトルとは データ $x$ に対する特徴ベクトルが $\overrightarrow{\phi}(x)$ であるとき、それに対応するカーネル関数は、 $K(x,x’)=\overrightarrow
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VC次元の意味と例 - 具体例で学ぶ数学
