球面集中現象 - 具体例で学ぶ数学

二次元の場合 いきなり高次元の球を考えるのは大変なので、二次元の場合の球（つまり円）について考えます。半径 $1$ の円について、中心から距離が $0.9$ 以上離れている部分を「表面付近」と呼ぶことにします（図の緑の部分です）。 ・全体の円の面積は $\pi\times 1^2=\pi$ ・「表面付近」の面積は $\pi -\pi\times 0.9^2=0.19\pi$ つまり、全体のうち表面付近にあるのは $19$ ％です。 三次元の場合 次に、三次元の場合の半径1の球（つまり普通の球）について考えます。同様に、中心から距離が $0.9$ 以上離れている部分を「表面付近」とします。 二次元の場合と同様に直接計算してもOKですが、ここでは（三次元空間において）相似な図形の体積比が相似比の三乗に比例することを使って計算してみます。 ・全体の球の体積を $V$ とおく ・「表面付近」の体積