【続!!暗記しない数学】3乗和のシグマ公式を図形で理解してみる - ロボット・IT雑食日記
この記事を読み，Twitter等で，「3乗和の公式も図形的な解法はないか？」という声を多くいただきました． そんな中，とてもエレガントな方法を教えてくれる方がいたので紹介させていただきます． まず3乗和の公式って？ 図形的解釈をして見る前に，3乗和の公式を見てみましょう． 3乗和の公式，を見て分かることが１つあります． 3乗和の公式は，を2乗したものになっています おそらくほぼ全員がこの公式を覚える時に使ったこの性質，これが図形的に考えるのにとても役に立つのです． 「2乗」，そして「図形」この２つから，正方形の面積を思い浮かべた方は多かったのではないでしょうか． とことで，今回は正方形の面積を使って，シグマの3乗和を考えてみましょう １辺がkの正方形がk個あると考える １辺の長さがkの正方形がk個ずつあるとしましょう． 例えば，１辺の長さが2の正方形が2個あるとすると，正方形1個の面積がな
【暗記しない数学】面積と関連付けて考える平方完成
高校1年生ででてくる平方完成． 式変形は出来るけどよくわからなかったって人も多いのではないでしょうか． 英語で言うと，Completing the Squareです． Squareは平方という意味なので，平方を完成させるということになるんですが，Squareにはもう一つ，「正方形」という意味もあります． つまり，平方完成 Completing the Squareは，正方形を完成させる作業とも言いかえられますね． ということで，今回は正方形を使って理解する平方完成を書いてみようと思います． 平方完成とは？ 正方形を使って平方完成を考えて見る前に，平方完成がどんなものだったかを一回考えてみましょう． こんな感じに，2乗+定数の形に直すものが平方完成です． 平方完成の図形的イメージ では，この式を図形的に表現することを考えてみます． を正方形と長方形の面積として扱います． さて，これを平方完成
【数学】議論している「空間」を明確にする - もう一人のY君
某質問サイトを見ていると, 的外れなやり取りを見かけます(僕もやらかしたりしますが). それは「どういう相手」に沿ったやり取りか その最たるは例えば 0は自然数か 0や負数は倍数, 約数に含めるか といった質問, 議論です. ある人は「0は自然数じゃない」と言い, また別の人は「いや0は自然数だ」と言います. 結論から言うと「どちらも正しい」ので双方引くことはありません, 「そんな必要ない」ですから. しかし答えを求めている側からすれば, そして何らかの立場から考えれば答えは一つのはずです, 従ってこのままでは解決しません. 空間 物理などのそれとは意味が異なるこの「空間」とは, 対象(数や集合などなど)やそれを用いた演算等々を扱うための, はじまりの集合のことです. 例えばある関数のグラフを考えましょう. 一般的に関数と言えばほぼ無条件で実数から実数までの関数 を意味します この場合「空
パッと見素数 "91" を素数判定に活用する - tsujimotterのノートブック
91 という数は、見た目が素数っぽくてつい間違えてしまうという 「パッと見素数」 です。 motcho.hateblo.jp 素数と間違えやすいので、たとえば素数を使ったカードゲーム*1においては、間違えて悔しい思いをした方もいるかもしれません。 「いやな数」と思われがちな 91 ですが、tsujimotterとしてはどんな数でも好きになってもらいたい。 そんな風に考えていたかどうかはさておき・・・ もしかしたら 91 が素数判定で活躍するかもしれない というアイデアを得ましたのでご紹介します。 「７の倍数」と「１３の倍数」の判定が課題 そもそも「素数判定」ってみなさんどのようにしていますか？ 基本的には判定したい数を小さい順に並べられた素数 で割っていって、割り切れなければ素数とわかるわけですね。 ２の倍数と５の倍数は下１桁目ですぐに判定できますし、３の倍数や１１の倍数もよい判定法があり
【基本】平均値・中央値・最頻値はどう使い分ける？ | なかけんの数学ノート
主なデータの代表値に、平均値、中央値、最頻値の3つがあります。どれも、データ全体の特徴を表すものですが、どうして代表値が3つもあるのでしょうか。「1個なら覚えるのも楽なのに！」と言いたい人もいるでしょう。また、結局どれを使えばいいのかわからないという人もいるかもしれません。 ここではそういった疑問について考えていきます。3つの代表値のメリット・デメリットや、使い分けについて考えていきます。 各代表値の得意・不得意 代表値とは、データ全体の特徴を表した値のことです。平均値は、「すべての数値を足して、数値の個数で割ったもの」、中央値は、「数値を小さい方から並べたときに、真ん中に来るもの」、最頻値は、「一番個数が多いもの」です。どれも「データを特徴づける値」ですが、それぞれの代表値には、得意・不得意があります。 データが次のようにきれいな左右対称の山の形に分布していた場合は、平均値も中央値も最頻
導関数dy/dxのdyとdxを説明するのは実は苦労
中高の微積分でも出てくる導関数dy/dxの、微分と呼ばれる記号dyとdxが指すものが何なのか、じっくり考えた経験はあるであろうか。「dy/dxは分数ではない」と生徒に教える数学教師に疑問を投げる塾講師のツイートから、あれこれ大学教員の間でやり取りがあった*1のを眺めていて気づいたのだが、仕方が無いとは言え、このdxとdyが何なのか少なくない人々が誤魔化されたまま終えるようだ。実際、私も良く分かっていなかった。 たぶん上の完全微分方程式を解く問題で見かけるのが最初の人が多いと思うが、dxは微小変化と考えて良いような言い回しがあるだけで、dxを独立した何かとして扱ってよい理由はしっかり説明されていないと思う。dfのdは全微分した印と理解できるであろうが*2。 完全微分方程式のこの書き方が問題ないことを説明できる人は、解析学に習熟している。なぜならベクトル解析もしくは多様体の話が出てくるまで、し
dy/dxを分数だと見なさないのはトンデモでは無いから
くるる @kururu_goedel bit.ly/2h7ksMT 今、すごく時間がないので、数日後にきちんといろいろ書こうと思っているのだけど、今\int(x/\sqrt{x^2+4})dx=(1/2)\int(1/\sqrt{x^2+4}))dx^2+4=sqrt(x^2+4)という答案が（続) 2016-12-16 16:46:06 くるる @kururu_goedel 数日後と言ったのが十日以上前になってしまった。期末テストの点付けと成績の処理と二回延ばしてもらった査読締め切りと学生のインターンへの推薦状の締め切りがあって、私にしてはえらく忙しかったんです。でもこれは放置できないので。 2016-12-30 11:52:03 くるる @kururu_goedel なぜ放置できないかというと、 twitter.com/genkuroki/stat… で @genkuroki さんが「
蔵本予想とは何か? 〜予想紹介編〜 - mattyuuの数学ネタ集
1/7に第8回日曜数学会にて「蔵本予想とは何か?」というタイトルで力学系理論に関するLTをさせていただきましたのでご紹介します。私の不勉強のため今回は蔵本予想の紹介に留まりましたが、近いうちに証明も体得して概説したいと思い、本記事では〜予想紹介編〜というサブタイトルを付けております。 蔵本予想とは同期現象に関する数学的な予想になります。"予想"と書いていますが、九州大学の千葉逸人准教授によって証明されています。今回は蔵本予想の概説を行いたいと思います(不勉強ゆえ間違った記載があるかもしれません。あくまでざっくり蔵本予想がどういうものなのかを知っていただければと思います。)。 まず同期現象とは何かを説明します。多数の蛍が集まっている場面、または、多数のメトロノームを集めた状況(←台車の上に置く等、相互に作用するようにする。固い台の上においてはダメ。)を想像してください。最初はそれぞれの蛍が各
離散型分布は怖くない:;(∩´﹏`∩);: - Qiita
機械学習に必要な高校数学やり直しアドベントカレンダー Advent Calendar 2016の9日目の記事です。 なるべく怖く見えないよう書こう、と思いこのタイトルにしました！ 本当のところは？ 8日目はYU81さんで、指数・対数のお話でした。対数は掛け算を足し算に変えられ、対数線形モデルなどはこの性質を利用しています。指数・対数はとても大事です！ はじめに 離散型確率分布は高校数学でよく出てくるのに、大学教養の統計では二項分布やポアソン分布以外は扱いが少なめです。 その中には概念的に既習でも名前を知らないものがあったりするのではないでしょうか？ というのも、高校数学の教科書では分布の名前を列挙したりしないからです。それをすると暗記モノになってしまい、自ら考えて確率概念の扱いを習得することが重要なので適切な方針だと思います。 機械学習の教科書などには分布が固有の名前で登場します。読むとき
「パッと見素数」に気をつけろ！ - アジマティクス
91は素数でしょうか？ 91は素数 — 91は素数 (@91__prime) 2016年8月13日 91は素数ではありません。 素数大富豪 この記事は、素数大富豪Advent calender11日目の記事です。 「素数大富豪」というトランプゲームがあります。通常の大富豪は場に出ているカードより大きいカードをどんどん出していくというものですが、素数大富豪においてはカードを組み合わせて素数を作り（「4」と「1」で「41」みたいな）、場に出ている素数より大きい素数を出していって、先に手札をなくしたほうが勝ち、というルールになってます。詳しいルールはこちらです。 www.ajimatics.com 素数でない数、すなわち合成数を出してしまうとペナルティとして山札からカードを引かなければなりません。 そんなわけなので、素数大富豪において「一見素数に見えてその実、素数でない」91は鬼門なのです。私自
フィボナッチ的らせん三角形と変拍子について（パドヴァン数列の話） - アジマティクス
11月23日はフィボナッチ数列の日です。ハッピーフィボナッチ！ 本場イタリアでは、街中にウサギやヒマワリなどの飾り付けをしてこの日を盛大に祝うらしいです。うそです。 フィボナッチ数列 フィボナッチ数列とはすなわち1,1,2,3,5,8,13...という数列のことであり、初項と第２項が１で、前２つの項を足したものが次の項になっているような数列のことです（wikipedia）。 この数列に関して、こんな図を目にしたことがある方も多いのではないかと思います。 最初に一辺の長さが１の正方形を２つ置いて、左隣にそれらに接するように一辺２の正方形を置く。次は上に３。右に５。下に８。左に13。というふうに、正方形をらせん状にくっつけていくと、その辺の長さがフィボナッチ数列になっているというものです。興味深いですね。 これの拡張として、正方形以外の形でもらせん状に配置することってできないのかな？ と思うの
ものすごく数学をやりたくなった話
10月4日、六本木ニコファーレ。東京大学大学院の森脇湧登さんが2枚のホワイトボードに猛烈なスピードで数式を書きながら、分割数の合同算術について解説している。わたしは頭からシュンシュン蒸気をあげてメモをとりつつ、分不相応かつ大それた企画を立ててしまったことを神に詫びていた。 『MathPower 2016』、数学の力というお祭りがあると知ったとき、わたしの胸はときめいた。数学オリンピックやプログラミングコンテストなどの競技大会は知っていたが、数学のお祭りというのは聞いたことがなかったから。「もっと社会に数学を」というキャッチコピーも熱くてそそるものがある。バリコテの文系であるわたしにとって数学はまるでファンタジー、あこがれの世界だ。敷居が高かった数学の世界を楽しめるようになる、これはぜひともレポートしなければと考えた。 結果的にまったく言葉の通じない世界に迷いこんだ「数学の国のアリス」になっ
「0.999999... = 1」にまつわる未整理材料いろいろ（その1） - 🍉しいたげられたしいたけ
前回のエントリー で引用した中学生と数学教師の話の続きだが、もし教師が「0.999999･･･ は 1じゃないよ」と、開き直ってしまったら、中学生はどんな反応をするだろう。 ある演算をしてその逆演算をしても元の値に戻らない例としては、フーリエ級数のギブス現象なんてものを持ち出さなくても、ある数にゼロを掛けてゼロにしたらどんな数を掛けても元に戻せない例を出せばよかった。 さらに、教師にこんな話をさせてみたら、面白そうじゃないかな？ 教師と中学生の双方に、もし十分なやる気と時間があればだが。 a1 = 0.5 a2 = 0.5 + 0.25 = 0.75 a3 = 0.5 + 0.25 + 0.125 = 0.875 a4 = 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 0.9375 ･･･ これは高校数学あたりでよく例に出される、無限和が有限値に収束する一例である。 スポン
0.999999... = 1 が理解できない中学生
中学生「0.999999... = 1 に納得がいきません．なぜこれが成り立つんですか？」 先生「分数 1/3 を小数で表すと 0.333333... ですね．つまり， 1/3 = 0.333333... です．両辺を 3 倍すれば 1 = 0.999999... になります」 中学生「ちょっと待って下さい！まず 1/3 = 0.333333... っていうのはなんですか？」 先生「1 ÷ 3 を筆算してみればわかるように，商の部分には最初の 0. のあとは ず〜っと 3 が続きます．その様子を表現したのが 0.333333... です」 中学生「なるほど，ただの表記法ということですね．でもその場合，0.333333... を 3 倍したのが 0.999999... になるのはどうしてですか？」 先生「例えば，0.333 の場合で考えてみましょう．これを 3 倍したら 0.999 ですよね
2016年ノーベル物理学賞！「トポロジーのメガネ」で見えた物体の新しい世界 | 科学コミュニケーターブログ
Tweet ノーベル物理学賞2016年受賞者と受賞理由が発表されました！ その受賞理由はこちら！ トポロジカル相転移と物質のトポロジカル相の理論的発見 ノーベル財団の発表によると、固体物理学における20世紀の最大の発見とも言われています。 なかなか理解しがたい（書いている私もきちんと理解できていないので苦しい...）のですが、がんばって今回の受賞が何だったのかを伝えます！ ◆トポロジカルとは？ まずは受賞理由に２回も登場する「トポロジカル」という言葉から説明します。 関連用語の「トポロジー(topology)」は、「位相幾何学」などと訳される数学の一分野です。 そして、トポロジカルな視点で世界を見ると、面白いものの見え方をします。 例えば、下の図のような感じ。 「ボール・マグカップ・ドーナツ・８の字型のもの」の４つが書かれた紙を見るときに、トポロジカルな視点で見るための"メガネ"をかけると
落語で数学をぶった斬り 笑福亭銀瓶氏が「ロマンティック数学ナイト」を寄席に変える
数学好きが集まり、数学への想いを語り合う、熱気あふれるイベント「ロマンティック数学ナイト」が8月19日に開催されました。落語家の笑福亭銀瓶氏は、桂文枝師匠が作った数学を題材にした落語「宿題」を紹介。算数の問題に悩む息子に対して、まったく違う角度から珍回答を連発する父親。どんな回答が飛び出すのか？ 桂文枝師匠が作った落語「宿題」 笑福亭銀瓶氏（以下、笑福亭）：どうも、こんばんは！ 今日は大阪からやってきました。笑福亭銀瓶でございます。 私の前の4人の方（ほかのプレゼンター）のお話を聞いておりまして、とんでもないところに来たなと。ちょっと後悔しかけておりますけども。大阪では、このようなイベントは無理です！ （会場笑） 同じ数字を扱うのでも、大阪だと金儲けができるというイベントだとこれくらい、もっと集まるかもしれませんが、数学のイベントでこんなに来ません。 すごくレベルの高いお話をみなさんされて
また巨大数の話
37. 𝐵 1,1 = 𝐵 0, 𝐵 1,0 = 𝐵 0, 𝐵 0,1 = 𝐵 0,2 = 3 【ルール①】 もし前の数が0なら、後ろの数を強化前の機械Ａ に入れて計算する （ここでは𝑥 + 1） 38. 𝐵 1,1 = 𝐵 0, 𝐵 1,0 = 𝐵 0, 𝐵 0,1 = 𝐵 0,2 = 3 【ルール②】 もし後ろの数が0なら、前の数を１減らして 後ろの数を１にする 39. 𝐵 1,1 = 𝐵 0, 𝐵 1,0 = 𝐵 0, 𝐵 0,1 = 𝐵 0,2 = 3 【ルール③】 もし前の数も後ろの数も０でないなら、前の数を １減らし、後ろの数を「元のやつの後ろの数を １減らしたもの」にする
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[PDF]算数を教えるのに必要な数学的素養 : 信州大学教育学部紀要
http://yato.main.jp/koneta/ABC_conjecture.pdf
「異世界からきた」論文を巡って： 望月新一による「ABC予想」の証明と、数学界の戦い